#정주희: #수리논리 #집합론 #머신러닝 #수학

경북대 수학과 정주희 교수 - 논리학자 개발자

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(정주희 n.d.-b)

현재 경북대학교 사범대학 수학교육과 교수. 대한수리논리학회 회장이다. 서울고등학교를 졸업하고 서울대학교 공과대학과 KAIST에서 재료공학을 전공하고, 뒤늦게 수학에 뜻을 두어 UC Berkeley 수학과에서 1991년 Ph.D.를 받았다. 수학의 모든 증명을 기호화 하여 그것의 옳고 그름을 컴퓨터에서 판정할 수 있도록 하는 시스템을 만드는 것을 평생의 꿈으로 삼고 있다.

현 경북대학교 사범대학 수학교육과 교수. 대한수리논리학회 회장. 서울고등학교를 졸업하고 서울대학교 공과대학과 KAIST에서 재료공학을 전공. 뒤늦게 수학에 빠져 UC Berkeley 수학과에서 1991년 Ph.D.를 받음. 수학의 모든 증명을 기호화 하여 그것의 옳고 그름을 컴퓨터에서 판정할 수 있도록 하는 시스템을 만드는 것을 평생의 꿈으로 삼고 있다. 웹사이트 http://proofmood.com 에 지난 3년간의 작업 결과를 공개하였으며 첫 저서 "수리논리와 집합론 입문"에서 이 시스템을 적극 활용하고 있다.

정주희 2024 "jhjeong314/Proofmood"

(정주희 [2023] 2024)

Proofmood is a computer logic system specifically tailored for Fitch calculus, covering propositional logic, first-order logic, and type theory.

정주희 2015 "수리논리와 집합론 입문"

(정주희 2015)

• 이 책이 채택한 해법은 컴퓨터 형식증명 시스템이다. 즉 학생이 작성한 증명에 오류가 있는지를 컴퓨터가 판별해 줌으로써, 학생들이 엄격한 수학적 증명에 대한 훈련을 받도록 하는 것이다. 필자는 2009년 봄부터 컴퓨터 논리 시스템 Proofmood의 개발을 시...

책소개

이 책이 채택한 해법은 컴퓨터 형식증명 시스템이다. 즉 학생이 작성한 증명에 오류가 있는지를 컴퓨터가 판별해 줌으로써, 학생들이 엄격한 수학적 증명에 대한 훈련을 받도록 하는 것이다. 필자는 2009년 봄부터 컴퓨터 논리 시스템 Proofmood의 개발을 시작하여 중학교 영재 학생들 및 학부 학생들을 대상으로 논리 교육에 활용해 왔다. 초기에는 주로 명제논리를 이용한 논리퍼즐 문제를 다루어 많은 학생들의 흥미를 끌수 있었다.

목차

머리말 iii 제 1 장 명제와 논리식 1 1 논리식의 구문 2 논리식의 의미 3 논리적 귀결과 모델 4 정규형식 5 변수를 포함한 명제, 벤 다이어그램

제 2 장 논리도해 29 1 추론의 타당성 2 논리도해 3 논리도해 소프트웨어 4 터뜨리기와 추론

제 3 장 Fitch 증명시스템 53 1 피치 시스템 소개 2 피치 증명의 구조 3 피치 추론규칙 4 증명 작성 기법

제 4 장 1계논리 77 1 왜 1계논리인가? 2 1계논리식의 구문과 의미 2.1 구문론 2.2 피치 시스템의 구문 2.3 의미론 2.4 한정사의 영향범위와 치환 3 피치 1계논리 추론규칙 3.1 명제논리적 귀결 3.2 한정사의 도입과 소거 3.3 등호의 도입과 소거 3.4 추론규칙의 확충

제 5 장 1계논리 증명 작성 기법 125 1 군론 1.1 군의 공리계와 기본 정리 1.2 방정식 a · x = b는 유일한 해를 가진다 1.3 a · x = a · y ⇒ x= y(왼쪽 소거) 1.4 1면-공리계 2 페아노 산술 2.1 페아노 산술의 정의와 공리계 2.2 페아노 산술의 정리 2.3 1계논리 형식 증명의 공식과 기법

제 6 장 집합론 151 1 집합과 증명과 역설 1.1 기본 개념과 용어 1.2 형식증명과 비형식증명 1.3 집합의 기본 성질 1.4 기수, 역설, 집합의 존재성 공리 2 관계와 함수 2.1 카티지언곱 2.2 관계 2.3 함수

제 7 장 수학의 기반과 공리적 집합론 205 1 순서집합 2 동등관계와 상구조와 준동형사상 3 부분구조체와 카티지언곱 구조체 4 토픽 몇 가지 4.1 페포연산 4.2 수학적 귀납법과 문자열의 복잡도 4.3 정수론 5 기수와 서수 5.1 기수와 서수의 정의 5.2 귀납적 증명과 재귀적 정의 5.3 조른의 보조정리 5.4 서수와 기수의 연산 5.5 무한과 유한, 미루었던 증명 6 공리적 집합론

참고문헌 283 찾아보기 284

출판사 리뷰

이 책은 대학에서 수리논리학과 집합론 교재로 활용할 수 있도록 쓰였다 수리논리학은 수학적인 방법으로 접근하므로 수학의 언어인 집합론을 알지 못하고는 공부하기 힘들다. 그런데 집합론은 엄격한 증명에 대한 훈련, 즉 논리의 기반 없이는 공부하기 힘들다.

이 딜레마의 해결을 위하여 이 책이 채택한 해법은 컴퓨터 형식증명 시스템이다. 즉 학생이 작성한 증명에 오류가 있는지를 컴퓨터가 판별해 줌으로써, 학생들이 엄격한 수학적 증명에 대한 훈련을 받도록 하는 것이다. 필자는 2009년 봄부터 컴퓨터 논리 시스템 Proofmood의 개발을 시작하여 중학교 영재 학생들 및 학부 학생들을 대상으로 논리 교육에 활용해 왔다. 초기에는 주로 명제논리를 이용한 논리퍼즐 문제를 다루어 많은 학생들의 흥미를 끌수 있었다.

집합론 수업에 필요한 1계논리 증명시스템은 2011년 봄에 이르러 수업에 제대로 활용할 수준의 기능을 갖추게 되었고 2011년 가을 학기에는 대학원 수업에 1계논리 증명시스템을 성공적으로 사용하였다. 형식증명은 처음으로 대하는 것이기에 학생들이 지레 겁을 먹는 경우가 많았으나 차차 익숙해지면서 모두들 기대 이상으로 잘 해 내어서 필자에게 큰 즐거움을 주었다. 2012년부터는 매년 봄학기에 1학년 과목으로 개설되는 집합론에 이것을 활용할 계획이다.

이 책의 1장부터 3장까지는 명제논리를 다루고 있으며 교사가 친절하게 잘 지도한다면 중학생도 흥미를 가지고 공부할 수 있을 것이다. 4장은 1계논리의 입문인데, 1계논리의 의미론 부분은 철저히 이해하려면 집합론 지식이 필요하므로 일단 대강만 이해하고 지나가도 될 것으로 본다. 5장에서는 1계논리 형식증명을 군론과 정수론을 예로 들어 심도있게 공부한다.

1장부터 5장까지 형식증명과 수리논리에 대한 훈련이 이루어진 후에는 집합론을 6장부터 시작한다. 통상적인 집합론 입문 교재에서 다루는 내용은 거의 다포함시켰으며 여기에 더하여 공리적 집합론을 가장 기본적인 개념과 방법론을 이해할 수 있는 정도의 분량만 넣었다. 수리논리학에서 가장 유명하고 또한 중요한 정리인 괴델의 완전성 정리와 불완전성 정리를 이 책에 포함시키지 못한 것이 안타깝다. 이들 정리는 충분한 수학적 성숙도를 갖추어야 제대로 이해할 수 있으며 특히 불완전성 정리는 계산이론과 재귀함수이론, 그리고 가능하다면 형식언어와 계산복잡도까지 익히고 난후에 공부를 시작하는 것이 옳은 순서라고 생각하기에 생략하였다

정주희 2023 "R로 알아가는 머신러닝과 통계, 수학"

(정주희 2023) Machine Learning - jhjeong.mindconnect.cc

머리말

후세의 사람들에게 21세기는 어떠한 시대로 기억될 것인가? 인류가 지적 작업을 기계에게 맞기기 시작한, 즉 인공지능이 개화한 시대로 인식될 것이라고 본다.

인공지능은 호모 사피엔스, 즉 생각하는 인간이라면 누구나 관심을 가지는 주제이다. 컴퓨터가 발명된 이래 기계가 인간을 지적 대결에서 이길 수 있다는 것을 보여준 주요 사건으로 체스에서의 딥 불루(1997), 퀴즈 쇼 제퍼디에서의 IBM 왓슨(2011) 등을 들 수 있다. 이 두 예는 결코 작지 않은 성취임을 부인할 수 없지만, 이러한 진보들이 누적되어 인공지능의 시대가 머지않아 열리게 될 것이라는 이른바 전문가와 석학들의 말을, 당시 나는 약간의 과장과 호들갑으로 받아들이고 있었다.

2016년 3월 알파고의 등장은 나의 이러한 시각이 급선회하게 된 계기가 되었다. 바둑은 체스와 달리 현재 국면의 유불리를 수치화하여 평가하기가 극히 어렵고, 또한 수읽기 경우의 수가 너무 많기 때문에 바둑에서 기계가 사람을 이긴다는 것은, 적어도 현시대에는 불가능하다고 여겼는데 도대체 알파고는 어떻게 개발된 것일까?

인간이 컴퓨터에게 바둑 두는 법을 가르치려면 이러한 상황에서는 이렇게 하고 저런 상황에서는 어떻게 하고, 이런 식으로 수없이 많은 경우들을 체계적으로 분류하여 일일이 답을 알려주어야 할 터인데, 이런 방식으로는 도저히 기계가 사람을 이기는 수준까지 이르도록 할 수 없을 것이다. 이 문제의 돌파구는 기계에게 학습을 시키는 것이라고 한다. 아니, 기계가 학습을 한다고?

저자가 공과대학과 대학원을 나왔지만 수학으로 전공을 바꾼 것은 괴델의 불완전성 정리가 너무나 궁금했기 때문이다. 인간이 증명할 수 없는 명제가 있다는 사실을 수학적으로 증명했다니 대관절 이게 무슨 말인지조차 이해하기 힘들었다. 수리논리학으로 박사학위를 받는 과정에서 이 지적 갈증은 해소되었다.

수리논리학은 자연언어의 모호성과 복잡성을 피하여 인위적으로 만든, 수학적으로 엄격하게 정의된 형식언어를 연구 도구와 대상으로 삼는다. 이 언어는 컴퓨터에 입력하여 다룰 수 있는데 저자는 수학 명제가 비교적 간단한 경우에는 이 명제의 형식언어에 의한 증명이 주어졌을 때 컴퓨터가 이 증명의 옳고 그름을 판단할 수 있는 시스템인 Proofmood를 개발하였다. 그러나 이 시스템은 증명을 찾아내지는 못한다. 증명을 찾는 것은 바둑 등의 지적 게임에서 이기는 수를 찾는 것과 분명 비슷한 부분이 있다. 그렇다면 증명을 찾는 것도 머신러닝으로 해결할 수 있지 않을까?

이제 어떻게 기계가 학습할 수 있는지가 못 견디게 궁금해졌다. 늦은 나이에 새로운 분야를 공부하기가 망설여지기도 했지만, 머신러닝의 기반인 통계학, 수학, 프로그래밍에 대한 지식이라는 자산을 믿고 호기롭게 뛰어들어 지난 수년간 공부하고 강의하면서 얻은 결과물이 이 책이다.

이 책은 그러나 알파고를 이해하기에는 많이 부족하다. 높은 산을 정복하기 위한 베이스캠프 정도의 수준이라고 보면 될 것이다. 이 책은 머신러닝의 입문서로서 수학적 원리의 이해와 컴퓨팅 알고리듬의 실제 구현에 충실한 것을 목표로 하였다.

알고리듬의 구현에 사용하는 도구는 R이다. 데이터 과학에서 가장 널리 사용되는 언어로 R과 파이썬을 들 수 있겠는데 전자가 코딩 경험이 적은 사람에게는 더 편하게 접근할 수 있기 때문에 이것을 선택하였다. 흔히 통계 계산에 사용되는 도구로 SAS, SPSS, 엑셀 등을 떠올리는데, 이런 정형화된 소프트웨어로는 머신러닝이 요구하는 알고리듬을 구현할 수 없음은 물론이고, 분석 결과를 그림으로 나타내는 작업 등에서는 R이 더 강력할 뿐만 아니라 쉽기까지 하다.

이 책에 나오는 모든 코드뿐만 아니라 지면 관계로 생략한 코드는 이 책의 동반 사이트 https://jhjeong.mindconnect.cc/mlearn 에 올려두었다. 또한 지면 관계로 다루지 못한 많은 수학 및 통계학 이론과 연습문제 일부의 해답 또는 힌트도 있으니 공부에 활용할 수 있다.

제 1 장 인공지능과 머신러닝

제 2 장 R 프로그래밍

제 3 장 수학

제 4 장 통계학의 기본이론

제 5 장 표본, 통계량, 모수

제 6 장 추정의 이론과 엔트로피

제 7 장 머신러닝의 기본

제 8 장 머신러닝의 기법

제 9 장 신경망과 딥러닝

정주희 "Coq 스터디 가이드 문서"

(정주희 n.d.-d)

• 정주희 #콕 #증명보조기

#아티클

Theorems etc.

[2024-10-25 Fri 10:00]

많은 학생들이 정리(theorem), 보조정리(lemma), 따름정리(corollary)의 정확한 의미를 궁금해 하는 것 같아서 여기에 나의 개인적 의견을 적어본다.

먼저 proposition 이란 증명된 수학적 사실을 말한다. 정리, 보조정리, 따름정리는 모두 proposition으로서 다음과 같은 의미의 차이가 있다.

정리(Theorem) : 중요한 proposition.

보조정리(Lemma) : 다른 정리를 증명하는데 쓰이는 proposition.

따름정리(Corollary) : 다른 정리로부터 쉽게 증명되는 proposition.

정주희 "수학 말하기와 쓰기"

[2024-10-25 Fri 07:15] https://jhjeong.mindconnect.cc/Texts/presenting_math.php (정주희 n.d.-c)

1 발표 내용을 숙지하지 못하여 화면에 글씨를 가득 띄워 놓고 읽는 형태의 발표를 절대 피해야 한다. 발표를 듣는 것이 화면만을 읽는 것보다 내용의 이해에 많이 도움되는, 그러한 발표가 되어야 한다. 판서한 것을 설명할 때도 이 원칙이 적용된다. 2 발표 자료 화면의 글씨는 충분히 커야 한다. 한 화면에 7줄 정도가 적당하며 12줄을 초과하는 것은 특수한 경우에 한하여 허용한다. 3 청중이 읽기에 힘든 작은 글씨, 또는 그림에 대해서는 반드시 "이 부분은 잘 보이지 않을 것인데..." 등으로 시작하여 뭔가 언급을 해야 한다. 4 지오지브라 등의 소프트웨어로 그린 그림에서 글씨의 크기는 컴퓨터 화면을 보는 사람에게 최적화 되어 있다. 강의실에서 발표자료로 쓸 때는 글씨의 크기를 디폴트 크기보다 크게 해야 한다. 5 글씨뿐만 아니라 그림에서도 색깔을 적극 활용한다. 색깔의 효과는 글씨보다도 그림에서 더 크다. GeoGebra에서 그림에 색깔을 넣는 것은 아주 쉽다. 그러나 색깔을 넣은 그림이나 글씨는 컴퓨터 화면에서는 예쁘게 잘 보이던 것이 발표장의 화면에서는 잘 안 보이는 경우가 흔히 있으니 유의해야 한다. 6 질문을 받았을 때 답변 없이, 그저 처분만 기다린다는 듯이 가만히 서 있는 것은 대단히 좋지 않다. 7 질문이나 지적을 받았을 때 자신의 발표 내용의 일부만 정정하면 될 것을 방어적인 자세로 답변하는 것은 더욱 더 좋지 않다. 심지어 아무런 답변 없이 그냥 지나가는 경우도 있다. 이런 것들은 큰 감점 대상이다. 발표의 잘못을 인정할 때 "죄송합니다"라고 하는 대신 "알겠습니다", 혹은 "그렇군요"하고 한다. 8 질문이 Yes/No question일 때는 답변에 yes/no 중 어느 것인지가 분명히 드러나야 한다. 혹은 yes/no로 답변하기 곤란한 이유를 설명해야 한다. 질문이 "A or B ?" 형태일 경우에도 같은 원칙이 적용된다. 9 발표하는 태도는 자신감 있되 겸손해야 한다. 10 발표자료의 표현이나 내용에 오류, 혹은 불명확한 부분이 있음을 지적 받았을 때 "원래 책에 그렇게 되어 있다."고 답하는 것은 대단히 나쁘다. "책에 그렇게 되어 있어 생각없이 그대로 사용했는데 이제 보니 개선이 필요하군요." 등으로 답해야 한다. 11 발표화면 한 페이지에 들어가는 내용은 일반적으로 책 한 페이지에 들어가는 내용보다 적다. 따라서 한 화면에서 식 1, 식 2, 그림 1 등을 언급하는데 실제 그 식이나 그림은 다른 화면에 있는 경우가 흔히 발생하며 이는 될 수 있는 한, 아니 거의 절대로 피해야 한다. 또한 책에서는 독자가 식이나 그림이 그 페이지에 없으면 페이지를 넘겨서 볼 수 있지만, 발표할 때는 청중이 발표자에게 화면을 넘겨달라고 요청하기가 쉽지 않다는 차이도 있다. 12 칠판, 혹은 화면에 있는 수식의 일부를 ‘이것’이라고 가리킬 때 천천히, 명확하게 한다. 발표자가 후딱 지나가면 청중은 잘 이해하지 못한다. 심지어 화면을 가리키지도 않으며 "이 식에 의하여...", 혹은 "다음 식에 의하여 ..."라고 하는 발표자도 있다. 13 화면은 모든 세부사항을 다 포함할 필요는 없지만, 독자가 눈으로 읽으며 암산으로 이해할 수 있을 정도는 되어야 한다. 발표 시에 피강연자가 답안에 포함된 계산의 세부사항을 요구할 경우 알기 쉽게 설명해 주어야 한다. 14 시간 관계상 자세한 설명은 생략하지만 누구든 차분히 따져 보면 알 수 있는 계산, 또는 식을 설명할 때는 이 사실을(충분한 설명 없이 생략하고 넘어간다는 사실) 명확히 말한다. 이렇게 하지 않으면 청중은 자신의 계산이 너무 느린 것이 아닌가 걱정하게 된다. 15 수식을 소리내어 읽을 때 지루하지 않도록 적절히 생략한다. 수식을 제대로 읽지 못하고 우물쭈물 하지 않도록 충분히 준비한다. 16 정확한 표현을 사용한다. 수학을 발표할 때는 일상 생활의 대화에서보다 더 정확한 표현을 써야 할 것이나 실제로는 반대로 일상 대화에서 사용하는 것 보다 더 부정확한 표현을 쓰는 경우가 대단히 많다. 버벅이며 국문법에 틀리게 말하는 경우도 허다하다. 그리고 수식에서 예를 들어 보면 $3\int \sin x_{}dx$를 "3 곱하기 인테그랄 싸인 엑스 디엑스" 혹은 "3 인테그랄 싸인 엑스 디엑스"로 읽어야 할 것이나 이를 "3에 인테그랄 싸인 엑스 디엑스"라고 잘못 읽는 경우가 많다. 기하에서의 예로 "점 A와 B를 잇는 선분", 혹은 "선분 AB"라고 읽어야 할 것을 "선분 A와 B"로 읽는 경우도 있다. 17 사칙연산은 수학의 가장 기본적인 것인데 사칙연산을 사용한 수식을 제대로 읽지 못하는 경우가 많다. 조사에 신경써서 다음과 읽도록 한다.

• A + B : A에 B를 더한다. • A x B : A에 B를 곱한다. • A - B : A에서 B를 뺀다. • A ÷ B : A를 B로 나눈다.

18 수식을 그대로 읽지 말고 그것이 의미하는 바를 적절한 방법으로 설명한다. 예를 들어 ${\lim }_{x\to a}(f(x)+g(x))={\lim }_{x\to a}f(x)+{\lim }_{x\to a}g(x)$ 는 두 함수를 더한 후에 극한을 취한 것은 각각의 극한을 취한 뒤에 더한 것과 같다고 말한다.. 19 수학 용어를 적절히 활용한다. 좌변, 우변, 치환, 대입, 대체, 충분조건, 필요충분조건, 대우, 부분집합, 분모, 분자, 피적분함수, 소거, 약분, 공통인수, 소인수 등. 특히 키워드를 빼먹지 않도록 유의한다. 예를 들어 풀이에 근과 계수의 관계를 사용했을 때는 반드시 이를 언급한다. 필요이상으로 수학용어를 남발하는 것도 좋지 않다. 예를 들어 두 삼각형의 합동을 말할 때 대응되는 변과 각이 무엇인지도 말하지 않고 그냥 SAS 합동이라고 하는 것은 좋지 않다. 실은 대응되는 변과 각을 말하면 SAS, ASA 등을 말할 필요가 별로 없다. 20 비슷한 두 문제를 설명할 때는 두 문제의 같은 점과 다른 점을 설명한다. 두 번째 문제의 풀이에 첫 번째 문제의 풀이와 유사한 부분이 있으면 그 부분은 간략하게 처리하고 넘어간다. 비슷한 3 개 이상의 문제의 경우에도 마찬가지다. 21 화면은 중요한 부분을 상세하게 기술하고 덜 중요한 부분은 간략하게 넘어간다. 발표 시에는 일정한 속도와 음성으로 진행하지 않는다. 중요한 부분에서는 천천히, 또박또박 말한다. 바로 이 부분에서 가장 많은 학생이 잘못을 저지른다. 발표의 속도를 못 맞추는 것은 "아버지 가방에 들어가신다."로 읽는 것과 비슷한 면이 있다. 22 증명, 또는 설명에서 모든 것을 하나도 빠짐없이 다 말할 수는 없으며 그럴 필요도 없다. 적절한 생략은 필수이며 또한 바람직하기도 하다. 그런데 생략하지 않아야 할 것을 생략하고, 생략해야 할 것을 생략하지 않는 잘못을 흔히 범한다. 23 대명사를 너무 많이 쓰지 않는다. 대명사는 문맥상 그 대명사가 의미하는 바를 쉽게 알 수 있을 때 자연스런 표현을 위하여 사용하는 것이다. 대명사를 너무 많이 사용하면 내용의 정확성은 떨어지기 마련이다. 수학은 정확한 의미전달이 대단히 중요하므로 수학을 말할 때는 다른 주제를 말할 때보다 상대적으로 대명사의 사용을 줄여야 한다. 24 수학문제는 직관과 논리를 사용해서 풀고 답한다. 답을 구하는 과정에는 직관이 중요하고 답안을 작성하는 과정에는 논리가 중요하다. 답을 구하는 과정에서 사용된 아이디어를 잘 설명하는 것이 발표자의 능력이다. 25 정답만 제시할 뿐만 아니라 흔한 오답도 제시하고 어디가 잘못 되었는지 설명한다. 26 수식으로 쓰면 될 것을 자연 언어로 바꾸어 표현하지 않는다. 자연 언어의 주 역할은 수식을 연결하는 것이라고 보면 된다. 예를 들어 "A = B + C"라고 쓰면 될 것을 "A는 B와 C의 합이다."로 쓰는 것은 좋지 않다. 더 나쁜(실은 틀린) 표현으로는 "A에는 B와 C가 있다.", "A는 B와 C에 의하여 값이 주어진다." 등이 있다. 단, 문제 풀이의 초기에 해법의 아이디어를 설명할 때는 예외적으로 자연 언어를 많이 사용해도 좋다. 27 특수한 경우에 대하여 답을 제시하고 설명한 다음에는 일반적인 경우에는 어떻게 해야 하는지를 정리, 요약 설명한다. 28 “... 이다” 라고 말하면(쓰면) 될 것을 “... 임을 알 수 있다”, 혹은 “...라고 할 수 있다”고 말하는(쓰는) 것은 좋지 않다. 29 “... 임을 알 수 있다”는 표현은 조금 생각하면 알 수 있거나 혹은 단순 계산만으로 확인할 수 있는 경우에 사용한다. "...라고 할 수 있다"는 표현은, 나와 다른 관점에서 볼 수도 있겠으나 나의 방식으로 해석하는 것이 현재 상황에서 가장 타당하다고 생각할 때 사용한다. 30 예를 들어 기함수의 역함수는 기함수라는 말을 한 후 f(x)가 어떤 기함수의 역함수임을 보였다면, "f(x)는 기함수이다"라고 해야 한다. "f(x)는 기함수임을 알 수 있다"고 말하는 것은 허용된다. 그러나 "f(x)는 기함수라고 할 수 있다"라고 말한다면 이건 잘못된 것이다. 31 “... 임을 알 수 있다”는 표현은 아주 쉬운 사실들에 대해서 여러 번 연이어 사용하는 것은 좋지 않다. 반면에 “.. 이다”는 표현은 계속 사용해도 전혀 거북하지 않다. 32 수학의 증명에서는 수식이(혹은 논리식이) 주인공이며 자연 언어는 수식들을 연결해 주는 보조적인 역할을 한다. 수학의 증명을 쓸 때 사용하는 표현 몇 개를 알아 두면 좋다.

• A를 ...로 둔다. ...로 놓는다. ...라 하자. (예: Let A be ...) • ...라 가정한다. (예: Suppose that..., Assume that...) • ...를 보이겠다. ...를 보이기 위하여..(예: To show that...)

실은 수학의 증명에서 가장 기본이 되는 표현은 "그러므로 ...이다."이다. 그러나 수식을 쓸 때마다 이렇게 일일히 써 줄 필요는 없다. 아무 말 없이 수식만 쓰면 그것은 바로 직전의 수식(들)로부터 이 수식을 얻었다는 뜻으로 해석되기 때문이다. 33 "그러므로 ...이다."는 표현을 쓸 때 그러므로가 바로 직전의 수식이거나 대단히 당연한 사실을 전제로 지칭하는 것이 아니라면 미리 그 전제들에 ①, ② 등의 번호를 붙여 놓은 다음에 "앞의 ①, ②에 의하여 ... 이다."와 같이 한다. 34 "..에서"라는 표현을 쓸 때 주의한다. 이 "에서"라는 단어는 국어사전을 찾아 보면 아래와 같은 여러 개의 서로 다른 의미가 있다.

1 도서관에서 만나자. 2 서울에서 부산까지 거리가 얼마냐? 3 그는 회사에서 월급을 받는다. 4 고마운 마음에서 드리는 말씀입니다. 5 이에서 어찌 더 나쁠 수 있겠는가? 6 이번에 정부에서 실시한 조사 결과에 의하면...

수학에서는 흔히 (가)라는 전제를 사용하여 (나)라는 결론을 얻을 때 "(가)에서 (나)를 얻는다."는 표현을 쓰는데 이것이 위의 1. ~ 5. 중 어떤 것에 해당되는가? 2와 4가 가장 적합한 듯 한데 딱 들어맞지는 않는다고 본다. "에서"는 될 수 있는 한 쓰지 말고 그 대신 "에 의하여" 혹은 "로부터"를 사용하는 것이 좋다. 35 "..에서"를 "using the hypothesis ..." 의미로 사용하지 않는 것이 좋다고 하였는데 또 다른 의미인 "at ..."로 사용하는 것은 허용된다. 예를 들어 $x+y\ge 2\sqrt{xy}(\text{*})$ $(\text{*})$에서 $y$를 $\frac{1}{x}$로 치환하여 $x+\frac{1}{x}\ge 2$를 얻는다. 는 나무랄 데 없는 표현이다. 36 "위에서 보듯이..."와 같은 표현은 좋지 않다. 왜냐하면 "위"라는 것의 범위가 넓어 어떤 것을 정확히 지칭하는지 모호할 때가 많기 때문이다. "위의 (1)과 (2)에서 보듯이.."는 괜찮다. 이와 비슷한, 좋지 않은 표현으로 "가정에 의해서.."가 있다. 가정이 딱 하나만 있다면 괜찮겠지만 여러 개의 가정이 있는 경우에는 그들 중에 어떤 가정(들)을 사용하는지를 적시하는 것이 필요하기 때문이다. 37 반례를 들 때는 반례가 되는 개체(individual)을 적시해야 한다. 예를 들어 틀린 명제인 "모든 실수 $x$에 대해서 $x>1$이면 $x^2>2$이다"의 반례는 $x=1.4$, $x=1.1$ 등이다. 이걸 반례를 든답시고 "$x>1$이지만 $x<\sqrt{2}$인 경우에는 준 명제가 성립하지 않는다."는 등의 얘기를 할 필요가 없다. 이것은 반례를 characterize하는 것이다. 즉, 반례가 되기 위한 필요충분조건을 말하는 것인데, 이럴 필요가 없으며 또한 바람직하지도 않다. 왜냐하면 (1) 질문자가 원하는 대답이 아니므로 질문자가 대답을 이해하는 데 방해가 된다. (2) 때로는 반례를 찾기는 쉬워도 characterize하기는 쉽지 않다. 간단히 반례만 찾으면 될 것을 반례을 위한 (질문자가 요구하지도 않은) 필요충분조건을 찾으려고 시간과 노력을 낭비할 필요가 없다. 38 발표할 때 "다음 식에 의하여.."등의 표현은 좋지 않다. 책에서는 "다음 식"은 좋은 표현이다. 왜냐하면 실제로 독자는 "다음 식"을 언급한 부분을 읽은 다음에 그 식을 읽게 되기 때문이다. 그런데 발표할 때는 이 식이 이미 화면에 떠 있는, 혹은 칠판에 써 있는 경우가 대부분이다. 이럴 때는 "다음 식"이 아니라 "이 식"을 써야 한다. 발표할 때 "다음 식"이라는 표현을 사용하는 것은 그 식이 다음 페이지에 나올 때에 한한다. 39 $a^{\prime }$은 $a$-프라임(prime)이라고 읽어야 한다. $a$-다시(dash)가 아니다. 후자는 계좌번호 등에 사용되는 것(–)이다. 40 (수학을 쓰기) 수학에서 문제풀이의 사고과정을 설명할 때는 식과 그림이 주가 되고 글이 부가 되어야 한다. 많은 학생들의 답안에서 식과 그림만 있고 글이 전혀 없거나, 혹은 반대로 식과 그림을 사용하면 간단할 것을 말로 길게 늘여 쓰는 것을 보게 되는데, 이러한 양 극단은 둘 다 좋지 않다. 41 (과제 제출) 2쪽 이상의 문서는 반드시 쪽번호를 붙인다. 첫 쪽 맨 앞에 제출자의 학번과 이름을 밝힌다. 표지 페이지를 별도로 가질 필요는 없다. 화면 캡쳐한 것을 사용할 때는 윈도 전체를 캡쳐하지 말고 필요한 부분(영역)만 캡쳐하여 사용한다. 풀이와 답으로 구성된 과제일 경우 답이 눈에 잘 뜨이도록 한다. A4 사이즈의 용지만을 사용한다. 2쪽 이상의 과제는 반드시 스테이플러로 묶어서 제출한다. 42 (답안 작성 #1) 발표를 위한 자료와 시험지에 쓰는 답안은 달라야 한다. 발표자료는 발표할 때 말로 보충할 것이므로 많은 부분이 생략될 수 있지만, 답안은 그 안에 더 많은 정보가 들어 있어야 한다. 모든 것을 다 답안에 적으려면 공간이 부족할 것이므로 어떤 부분을 생략해야 할지를 잘 판단해야 한다. 특히 계산과정을 지워서 채점자가 암산으로 따라갈 수 없으면 절대로 안된다. 43 (답안 작성 #2) 계산하여 답을 구하는 문제인 경우, 최종적으로 얻은 답은 맨 뒤에 써야 한다. (맨 위에 쓰거나 엉뚱한 곳에 쓰는 학생이 있다.) 중간 단계에서 얻은 답은 그 자리에 써야 한다. (맨 아래에 몰아 쓰거나 엉뚱한 곳에 쓰는 학생이 있다.) 그리고 답에 박스를 둘러 쉽게 알아볼 수 있도록 해야 한다. 답이 엉뚱한 위치에 있으면 채점자가 답을 찾지 못하게 될 수도 있고, 찾아냈다고 해도 감점을 할 것이다. 답을 여러 개 구하는 문제, 예를 들어 "$a$와 $b$를 구하고 \ ( f(x) > 0 \)를 증명하라"는 문제라면 $a=\text{*}$, $b=\text{*}$의 답에 각각 박스를 두르고 그 다음에 증명을 써야 한다. 44 (답안 작성 #3) 답안 작성을 위하여 주어진 공간을 벗어나지 않고 그 안에서 답안을 쓰는 능력도 평가 대상이다. 답안(풀이과정 + 답)은 반드시 주어진 영역 내에 써야 한다. 여백에 간단한 계산을 하는 것은 허용된다. 단, 채점자는 여백을 읽지 않을 것이고, 여백에 쓴 내용은 채점 대상이 아니다. 45 (답안 작성 #4) 계산하여 얻은 답을 쓸 때는 최대한 간략하고 알아보기 쉽게 써야 한다. 예를 들어 $\frac{36}{48}$을 얻었다면 약분하여 $\frac{3}{4}$ 으로 써야 한다. $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$를 얻었다면 분모를 유리화 하여 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$로 써야 한다.

정주희 "수리논리학 용어집"

[2024-10-25 Fri 09:58]

(정주희 n.d.-a)

한글 영어 가설 hypothesis 가지치기 branching 개체변수 individual variable 건전성 soundness 결론 conclusion 결합자 connective 곱인자 conjunct 공역 codomain 구문, 구문론 syntax, syntactics (1계)구조체 (1st-order) structure 귀납 induction 귀류법 reduction to absurdity, RAA 극한단계 서수 limit ordinal 논리곱 conjunction 논리곱문 conjunction (formula) 논리식 formula 논리외적 기호 extralogical symbol 논리적 귀결관계 logical consequence relation 논리적 기호 logical symbol 논리합 disjunction 논리합문 disjunction (formula) 다음단계 서수 successor ordinal 다음수 함수 successor function 대상영역 domain, universe (of discourse) 대우 contrapositive 대체 replacement 대칭적인 symmetric 데리베이션 derivation 동등관계 equivalence (relation) 동등한 equivalent 등호 equality 때면이 when and only when 리터럴 literal 만족시키다 satisfy 만족가능한 satisfiable 만족불가능한 unsatisfiable 멱등적인 idempotent 멱집합 power set 명제 proposition, statement 명제문자 propositional letter 모델 model 모순 contradiction 모순적인 inconsistent 무모순적인 consistent 묶인변수 bound variable 문자열 string 반대칭적인 antisymmetric 반사적인 reflexive 배중률 law of excluded middle, LEM 변수배정 variable assignment 변역 range 보조기호 auxiliary symbol 부모 parent 부분논리식 subformula 부분증명 subproof 부분집합 subset 부정 negation 부정문 negation (formula) 비대칭적인 asymmetric 상수기호 constant symbol 생성단계 formation level 속성 attribute 술어 predicate 술어기호 predicate symbol 쌓아놓기 piling 아규먼트 argument 아톰논리식 atomic formula 알파벳 alphabet 애리티 arity 양방향함의 biimplication, biconditional 양화사 quantifier 언어 language 역 converse 연결사 connective 연산 operation 연역정리 deduction theorem 완전성 completeness 우선순위 priority 원소 element 의미, 의미론 semantics 의미값 semantic value 이면이 if and only if 입증하다 validate 자유변수 free variable 재귀 recursion 재귀적인 recursive 전건 antecedent 전제 premise 전칭한정기호 universal quantifier 전칭문 universal formula 정규형식 normal form 정의역 domain 존재한정기호 existential quantifier 존재문 existential formula 주석 annotation 증명 proof 증명관계 proof relation 증명시스템 proof system 진리값 truth value 진리값배정 truth value assignment 진리값 함수 truth function 진리표 truth table 참 truth 추론 inference 추론규칙 rule of inference 추이적인 transtive 치환 substitution 타당성 validity 토톨로지 tautology 터뜨리기 pop 한정기호 quantifier 한정사 determiner 함수 function 함수기호 function symbol 함의 implication, entailment 함의문 implication (formula) 합인자 disjunct 합성논리식 compound formula 항진 logically valid formula 허무조건에 의하여 성립 vacuously hold 해석 interpretation 형식증명 formal proof 형제 sibling 후건 consequent

영어 한글 alphabet 알파벳, 기호집합 annotation 주석 antecedent 전건 antisymmetric 반대칭적인 argument 아규먼트, 인수 arity 애리티 asymmetric 비대칭적인 attribute 속성 atomic formula 아톰논리식 auxiliary symbol 보조기호 biconditional 양방향함의 biimplication 양방향함의 bound variable 묶인변수 branching 가지치기 codomain 공역 completeness 완전성 compound formula 합성논리식 conclusion 결론 conjunct 곱인자 conjunction 논리곱, 논리곱문 connective 결합자, 연결사 consequent 후건 consistent 무모순적인 constant symbol 상수기호 contradiction 모순 contrapositive 대우 converse 역 deduction theorem 연역정리 derivation 데리베이션 determiner 한정사 disjunct 합인자 disjunction 논리합, 논리합문 domain 정의역, 대상영역 element 원소 entailment 함의 equality 등호 equivalence (relation) 동등관계 equivalent 동등한 existential formula 존재문 existential quantifier 존재한정기호 extralogical symbol 논리외적 기호 formal proof 형식증명 formation level 생성단계 formula 논리식 free variable 자유변수 function 함수 function symbol 함수기호 idempotent 멱등적인 if and only if 이면이 implication 함의, 함의문 inconsistent 모순적인 individual variable 개체변수 induction 귀납 inference 추론 interpretation 해석 hypothesis 가설 language 언어 law of excluded middle 배중률 LEM 배중률 limit ordinal 극한단계 서수 literal 리터럴 logical consequence relation 논리적 귀결관계 logical symbol 논리적 기호 logically valid formula 항진 model 모델 negation 부정, 부정문 normal form 정규형식 operation 연산 parent 부모 piling 쌓아놓기 power set 멱집합 predicate 술어 predicate symbol 술어기호 premise 전제 priority 우선순위 proof 증명 proof relation 증명관계 proof system 증명시스템 proposition 명제 propositional letter 명제문자 pop 터뜨리기 quantifier 양화사, 한정기호 RAA (reductio ad absurdum) 귀류법 range 변역 recursion 재귀 recursive 재귀적인 reduction to absurdity 귀류법 reflexive 반사적인 replacement 대체 rule of inference 추론규칙 satisfy 만족시키다 satisfiable 만족가능한 semantics 의미, 의미론 semantic value 의미값 sibling 형제 soundness 건전성 statement 명제 string 문자열 (1st-order) structure (1계)구조체 successor function 다음수 함수 successor ordinal 다음단계 서수 tautology 토톨로지 transtive 추이적인 truth 참 truth function 진리값 함수 truth table 진리표 truth value 진리값 truth value assignment 진리값배정 subformula 부분논리식 subproof 부분증명 subset 부분집합 substitution 치환 symmetric 대칭적인 syntax, syntactics 구문, 구문론 universal formula 전칭문 universal quantifier 전칭한정기호 universe (of discourse) 대상영역 unsatisfiable 만족불가능한 vacuously hold 허무조건에 의하여 성립 validate 입증하다 validity 타당성 variable assignment 변수배정 when and only when 때면이

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• #수학

References

정주희. 2015. 수리논리와 집합론 입문. https://www.yes24.com/Product/Goods/6380855.

———. 2023. R로 알아가는 머신러닝과 통계, 수학. https://www.yes24.com/Product/Goods/117024283.

———. (2023) 2024. “Jhjeong314/Proofmood.” https://github.com/jhjeong314/Proofmood.

———. n.d.-a. “수리논리학 용어집.” Accessed October 24, 2024. https://jhjeong.mindconnect.cc/Texts/logic_glossary.html.

———. n.d.-b. “경북대 수학과 정주희 교수 - 논리학자 개발자.” Accessed July 5, 2024. https://jhjeong.mindconnect.cc/.

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———. n.d.-d. “Coq 스터디 가이드 문서.” Accessed July 5, 2024. https://jhjeong.mindconnect.cc/CoqStudy/.