존 스틸웰 "John Stillwell #수학자"
(존 스틸웰 2024)
John Colin Stillwell (born 1942) is an Australian mathematician on the faculties of the University of San Francisco and Monash University.
존 스틸웰 2015 "#기초수학 #수학기초론" 김영주 and 이계식 and 최인송
(존 스틸웰 2015)
‘고등적인’ 관점으로 바라보는 ‘기초’ 수학 수학의 역사에서 특히 인상적인 점은 수학자들이 한 시점에서 과거를 돌아보며 수학이라는 학문 자체의 목적과 방법, 한계와 지평에 대해 ‘수학의 언어’로 사유해왔다는 점이다. 저자 존 스틸웰은 20세기까지의 눈부신 수학적 발전에 안주하지 않고 현대 수학의 위치를 다시 설정한다. 『기초 수학: 새롭게 다시 읽다』는 산술, 대수, 기하, 미분적분, 확률, 논리 등의 기본 원리를 살펴보고 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다. 이 책은 기본적인 수학 개념을 익히고자 하는 학생과 그 개념을 설명해야 하는 교수자, 즉 모든 수학자에게 흥미로운 책이다. 새로운 관점을 통해 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구할 수 있다. 그 경계 너머의 수학을 엿보며 현대 수학을 조망하는 멋진 경험을 이 책과 함께하길 바란다. Elements of Mathematics
책소개
‘고등적인’ 관점으로 바라보는 ‘기초’ 수학
수학의 역사에서 특히 인상적인 점은 수학자들이 한 시점에서 과거를 돌아보며 수학이라는 학문 자체의 목적과 방법, 한계와 지평에 대해 ‘수학의 언어’로 사유해왔다는 점이다. 저자 존 스틸웰은 20세기까지의 눈부신 수학적 발전에 안주하지 않고 현대 수학의 위치를 다시 설정한다.
『기초 수학: 새롭게 다시 읽다』는 산술, 대수, 기하, 미분적분, 확률, 논리 등의 기본 원리를 살펴보고 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다.
이 책은 기본적인 수학 개념을 익히고자 하는 학생과 그 개념을 설명해야 하는 교수자, 즉 모든 수학자에게 흥미로운 책이다. 새로운 관점을 통해 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구할 수 있다. 그 경계 너머의 수학을 엿보며 현대 수학을 조망하는 멋진 경험을 이 책과 함께하길 바란다.
서문
1장 기초 주제 Elementary Topics
1.1 산술 1.2 계산 1.3 대수 1.4 기하학 1.5 미적분학 1.6 조합론 1.7 확률 1.8 논리학 1.9 역사 1.10 철학
2장 산술
2.1 유클리드 알고리즘 2.2 연분수 2.3 소수 2.4 유한 산술 2.5 이차 정수 2.6 가우스 정수 2.7 오일러의 증명 되돌아보기 2.8 √2와 펠 방정식 2.9 역사 2.10 철학
3장 계산
3.1 숫자 표기법 3.2 덧셈 3.3 곱셈 3.4 나눗셈 3.5 거듭제곱 3.6 P-NP 문제 3.7 튜링 기계 3.8 해결불가능한 문제 3.9 범용 기계 3.10 역사 3.11 철학
4장 대수
4.1 고전 대수 4.2 환 4.3 체 4.4 역수와 연관된 두 정리 4.5 벡터 공간 4.6 일차 종속, 기저, 차원 4.7 다항식 환 4.8 대수적 수 체 4.9 벡터 공간으로서의 수 체 4.10 역사 4.11 철학
5장 기하
5.1 수와 기하학 5.2 각에 대한 유클리드의 이론 5.3 넓이에 대한 유클리드의 이론 5.4 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도 5.5 연산의 기하적 실현 5.6 작도의 대수적 실현 5.7 벡터 공간의 기하 5.8 내적을 이용하여 길이 정의하기 5.9 작도가능한 수의 체 5.10 역사 5.11 철학
6장 미적분
6.1 기하급수 6.2 접선과 미분 6.3 도함수 구하기 6.4 곡선으로 제한된 영역의 넓이 6.5 ??=???? 아래의 넓이 6.6 미적분학의 기본정리 6.7 로그함수를 거듭제곱급수로 표현하기 6.8 탄젠트함수의 역함수와 π 6.9 초등함수 6.10 역사 6.11 철학
7장 조합론
7.1 소수의 무한성 7.2 이항 계수와 페르마의 소정리 7.3 생성 함수 7.4 그래프 이론 7.5 트리 7.6 평면 그래프 7.7 오일러의 다면체 정리 7.8 비평면그래프 7.9 쾨니히 무한 보조정리 7.10 슈페르너의 보조정리 7.11 역사 7.12 철학
8장 확률
8.1 확률과 조합 8.2 도박사의 파산 8.3 무작위 걷기 8.4 평균, 분산과 표준편차 8.5 벨 곡선 8.6 역사 8.7 철학
9장 논리
9.1 명제논리 9.2 동어반복, 항등식, 해의 존재성 9.3 속성, 관계, 양화사 9.4 귀납법 9.5 페아노 산술 9.6 실수 9.7 무한 9.8 집합론 9.9 역수학 9.10 역사 9.11 철학
10장 고등 수학의 몇 가지 주제들
10.1 산술: 펠 방정식 10.2 계산: 낱말 문제 10.3 대수: 기본 정리 10.4 기하: 사영 직선 10.5 미적분학: π의 월리스 곱 10.6 조합론: 램지 이론 10.7 확률: 드 무아브르 분포 10.8 논리: 완전성 정리 10.9 역사와 철학
Contents
Preface xi 1 Elementary Topics 1 1.1 Arithmetic 2 1.2 Computation 4 1.3 Algebra 7 1.4 Geometry 9 1.5 Calculus 13 1.6 Combinatorics 16 1.7 Probability 20 1.8 Logic 22 1.9 Historical Remarks 25 1.10 Philosophical Remarks 32 2 Arithmetic 35 2.1 The Euclidean Algorithm 36 2.2 Continued Fractions 38 2.3 Prime Numbers 40 2.4 Finite Arithmetic 44 2.5 Quadratic Integers 46 2.6 The Gaussian Integers 49 2.7 Euler’s Proof Revisited 54 2.8 √2 and the Pell Equation 57 2.9 Historical Remarks 60 2.10 Philosophical Remarks 67 3 Computation 73 3.1 Numerals 74 3.2 Addition 77 3.3 Multiplication 79 3.4 Division 82 3.5 Exponentiation 84© Copyright, Princeton University Press. No part of this book may be distributed, posted, or reproduced in any form by digital or mechanical means without prior written permission of the publisher.For general queries, contact webmaster@press.princeton.edu viii • Contents 3.6 P and NP Problems 87 3.7 Turing Machines 90 3.8 ∗Unsolvable Problems 94 3.9 ∗Universal Machines 97 3.10 Historical Remarks 98 3.11 Philosophical Remarks 103 4 Algebra 106 4.1 Classical Algebra 107 4.2 Rings 112 4.3 Fields 117 4.4 Two Theorems Involving Inverses 120 4.5 Vector Spaces 123 4.6 Linear Dependence, Basis, and Dimension 126 4.7 Rings of Polynomials 128 4.8 Algebraic Number Fields 133 4.9 Number Fields as Vector Spaces 136 4.10 Historical Remarks 139 4.11 Philosophical Remarks 143 5 Geometry 148 5.1 Numbers and Geometry 149 5.2 Euclid’s Theory of Angles 150 5.3 Euclid’s Theory of Area 153 5.4 Straightedge and Compass Constructions 159 5.5 Geometric Realization of Algebraic Operations 161 5.6 Algebraic Realization of Geometric Constructions 164 5.7 Vector Space Geometry 168 5.8 Introducing Length via the Inner Product 171 5.9 Constructible Number Fields 175 5.10 Historical Remarks 177 5.11 Philosophical Remarks 184 6 Calculus 193 6.1 Geometric Series 194 6.2 Tangents and Differentiation 197© Copyright, Princeton University Press. No part of this book may be distributed, posted, or reproduced in any form by digital or mechanical means without prior written permission of the publisher.For general queries, contact webmaster@press.princeton.edu Contents • ix 6.3 Calculating Derivatives 202 6.4 Curved Areas 208 6.5 The Area under y = xn 211 6.6 ∗The Fundamental Theorem of Calculus 214 6.7 Power Series for the Logarithm 218 6.8 ∗The Inverse Tangent Function and π 226 6.9 Elementary Functions 229 6.10 Historical Remarks 233 6.11 Philosophical Remarks 239 7 Combinatorics 243 7.1 The Infinitude of Primes 244 7.2 Binomial Coefficients and Fermat’s Little Theorem 245 7.3 Generating Functions 246 7.4 Graph Theory 250 7.5 Trees 252 7.6 Planar Graphs 254 7.7 The Euler Polyhedron Formula 256 7.8 Nonplanar Graphs 263 7.9 ∗The K˝onig Infinity Lemma 264 7.10 Sperner’s Lemma 268 7.11 Historical Remarks 272 7.12 Philosophical Remarks 274 8 Probability 279 8.1 Probability and Combinatorics 280 8.2 Gambler’s Ruin 282 8.3 Random Walk 284 8.4 Mean, Variance, and Standard Deviation 286 8.5 ∗The Bell Curve 290 8.6 Historical Remarks 292 8.7 Philosophical Remarks 296 9 Logic 298 9.1 Propositional Logic 299 9.2 Tautologies, Identities, and Satisfiability 302© Copyright, Princeton University Press. No part of this book may be distributed, posted, or reproduced in any form by digital or mechanical means without prior written permission of the publisher.For general queries, contact webmaster@press.princeton.edu x • Contents 9.3 Properties, Relations, and Quantifiers 304 9.4 Induction 307 9.5 ∗Peano Arithmetic 311 9.6 ∗The Real Numbers 315 9.7 ∗Infinity 320 9.8 ∗Set Theory 324 9.9 ∗Reverse Mathematics 327 9.10 Historical Remarks 330 9.11 Philosophical Remarks 333 10 Some Advanced Mathematics 336 10.1 Arithmetic: the Pell Equation 337 10.2 Computation: the Word Problem 344 10.3 Algebra: the Fundamental Theorem 349 10.4 Geometry: the Projective Line 354 10.5 Calculus: Wallis’s Product for π 360 10.6 Combinatorics: Ramsey Theory 365 10.7 Probability: de Moivre’s Distribution 369 10.8 Logic: the Completeness Theorem 376 10.9 Historical and Philosophical Remarks 381 Bibliography 395 Index 405© Copyright, Princeton University Press. No part of this book may be distributed, posted, or reproduced in any form by digital or mechanical means without prior written permission of the publisher.For general queries, contact webmaster@press.princeton.edu
참고문헌
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저 : 존 스틸웰 (John Stillwell)
오스트레일리아 멜버른 출생. 하틀리 로저스 주니어Hartley Rogers Jr.의 지도하에 MIT에서 박사학위를 받았다. 오스트레일리아의 모나쉬 대학교Monash University에서 31년간 재직한 후, 2002년부터 미국 샌프란시스코 대학교에서 강의하고 있다. 1994년 세계수학자대회ICM의 초청 연사였으며, 2005년 미국수학연맹MAA이 수여하는 쇼베넷 상Chauvenet Prize을 받았다. 2012년에 미국수학회AMS의 펠로우로 선출되었다. 『Mathematics and Its History』1989, 『Yearning for theImpossible: The Surprising Truths of Mathematics』2006,『Roads to Infinity』2010, 『Reverse Mathematics: Proofsfrom the Inside Out』2018 등 다양한 주제의 수학 교과서와교양서를 저술하였다.
책 속으로
이 책의 핵심 주제어는 기초(elementary) 수학과 고등(advanced) 수학이다. 여기서의 ‘기초 수학’을 쉬운 수학 또는 학제상 어릴 때 배우는 수학과 동일시해선 안 된다. 수학자들의 연구를 통해 수학이 발전하면서 여러 가지 수학적 개념과 논증법 사이에 ‘수준’의 차이가 있다는 것이 밝혀졌고, 이를 어느 정도 객관적으로 구분할 수 있게 되었다. 이 책에서는 현대 수학 체계의 바탕에 기반을 형성하는 내용을 기초 수학이라고 부른다. 그리고 기초 수학의 내용을 설명하고, 그 범위가 어디까지인지, 고등 수학과의 경계선을 어디쯤 놓아야 할지를 탐색한다. --- 「번역자의 말」중에서
이 책의 목표는 ‘기초적’이라는 말이 무슨 뜻인지 설명하는 것이다. 달리 말하면, 왜 수학의 어떤 논의가 다른 것에 비해 ‘더 기초적’으로 보이는지 그 이유를 설명하는 것이다. 기초적이라는 개념은 수학이 발전함에 따라 계속 변화해왔다고 보는 것이 타당하다. 실제로 오늘날 기초 수학의 일부로 여기는 어떤 주제는 그 동안의 엄청난 발전이 그 주제를 기초적으로 만들었기 때문에 그렇게 된 것이다. (…) 이 책이 수학의 기초에 관심이 있는 예비 수학도와 교사, 수학자에게 흥미로운 책이 되기를 바란다. 대학을 준비하는 학생들은 이 책을 통해, 미리 알아두면 유용한 것들에 대해 조망하면서 앞으로 마주치게 될 주제들을 흘낏 일별할 수 있다. 대학에서 강의하는 수학자들에게 이 책은, 학생들이 알기를 바라지만 실은 우리 자신도 썩 잘 알지 못하는 주제에 대한 보충의 기회가 될 수 있겠다. --- 「서문」중에서
출판사 리뷰
현대의 관점으로 다시 쓰는 유클리드의 『원론』 유클리드의 『원론』은 기초적인 내용을 분류하고 어떤 관점과 방법으로 수학적 대상들에 접근해야 하는지 제시해왔다. 수학사에서 2천 년 이상 영향을 미쳐온 이 고전은 오랜 전통이자 동시에 극복의 대상이기도 했다. 오늘날 기초 수학의 범주에 속하는 주제들이 언제나 ‘기초적’이라 여겨졌던 것은 아니며 그 주제들이 ‘기초’가 된 데에는 위대한 수학적 발견과 발전이 있었다. 기초 수학을 새로이 논의하기 위해서는 21세기 관점에서의 기초 주제들이 추가되어야 하고 ‘기초’라는 의미에 대해 보다 명확한 설명이 필요할 것이다. 이 책은 새로운 관점으로 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구한다. 수천 년에 걸쳐 수학자들이 수학의 기초를 어떻게 구축해왔는지, ‘기초적’이라는 개념이 수학사에서 어떻게 변화해왔는지 살펴보고, 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다.
존 스틸웰 2022 "#증명 #논리 #수학 #역사"
(존 스틸웰 2022) [2024-11-10 Sun 08:08]
The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics 증명 이야기 : 논리와 수학의 역사
How the concept of proof has enabled the creation of mathematical knowledgeThe Story of Proof investigates the evolution of the concept of proof—one of the most significant and defining features of mathematical thought—through critical episodes in its history. From the Pythagorean theorem to modern times, and across all major mathematical disciplines, John Stillwell demonstrates that proof is a mathematically vital concept, inspiring innovation and playing a critical role in generating knowledge.Stillwell begins with Euclid and his influence on the development of geometry and its methods of proof, followed by algebra, which began as a self-contained discipline but later came to rival geometry in its mathematical impact. In particular, the infinite processes of calculus were at first viewed as “infinitesimal algebra,” and calculus became an arena for algebraic, computational proofs rather than axiomatic proofs in the style of Euclid. Stillwell proceeds to the areas of number theory, non-Euclidean geometry, topology, and logic, and peers into the deep chasm between natural number arithmetic and the real numbers. In its depths, Cantor, Gödel, Turing, and others found that the concept of proof is ultimately part of arithmetic. This startling fact imposes fundamental limits on what theorems can be proved and what problems can be solved.Shedding light on the workings of mathematics at its most fundamental levels, The Story of Proof offers a compelling new perspective on the field’s power and progress.
증명 개념이 수학적 지식의 창조를 가능하게 한 방법 증명 이야기에서는 수학적 사고의 가장 중요하고 정의적인 특징 중 하나인 증명 개념의 진화를 역사상 중요한 에피소드를 통해 살펴봅니다. 피타고라스 정리부터 현대에 이르기까지, 그리고 모든 주요 수학 분야에 걸쳐 존 스틸웰은 증명이 수학적으로 중요한 개념이며 혁신을 불러일으키고 지식을 생성하는 데 중요한 역할을 한다는 것을 보여줍니다. 스틸웰은 유클리드와 그가 기하학과 그 증명 방법의 발전에 미친 영향을 시작으로, 독립된 학문으로 시작했지만 나중에 기하학과 경쟁하게 된 대수학의 수학적 영향에 대해 설명합니다. 특히 미적분학의 무한과정은 처음에는 '무한대수학'으로 간주되었고, 미적분학은 유클리드 스타일의 공리 증명보다는 대수적, 계산적 증명의 장이 되었습니다. 스틸웰은 수론, 비유클리드 기하학, 위상수학, 논리학의 영역으로 나아가 자연수 산술과 실수 사이의 깊은 틈새를 들여다봅니다. 그 깊은 곳에서 칸토어, 괴델, 튜링 등은 증명이라는 개념이 궁극적으로 산술의 일부라는 사실을 발견했습니다. 이 놀라운 사실은 증명할 수 있는 정리와 해결할 수 있는 문제에 근본적인 한계를 부여합니다. 가장 근본적인 수준에서 수학의 작용을 조명하는 증명 이야기는 수학의 힘과 발전에 대한 설득력 있는 새로운 관점을 제시합니다.
목차 용어 정보
[2024-11-10 Sun 08:09]
목차
1 Before Euclid 1 2 Euclid 16 3 After Euclid 39 4 Algebra 61 5 Algebraic Geometry 92 6 Calculus 110 7 Number Theory 145 8 The Fundamental Theorem of Algebra 191 11 Arithmetization 263 12 Set Theory 291 13 Axioms for Numbers Geometry and Sets 316 14 The Axiom of Choice 329 15 Logic and Computation 347 16 Incompleteness 381 Bibliography 405 Index 419
9 NonEuclidean Geometry 202 10 Topology 228
자주 나오는 단어 및 구문 (+링크)
algebraic analysis angles approach argument arithmetic assume axioms bound calculus called century chapter circle closed common complete computation concept connected consider consistency construction contains continuous corresponding curve defined definition Desargues distance divides edges Elements equal equation Euclid example existence fact factorization field Figure finite follows formula function geometry given gives graph hence idea ideal implies induction infinite infinity integers interval known least length limit logic machine mathematics means method multiplication natural numbers objects ordered pair particular path plane polynomial prime problem projective proof proposition prove question rational real numbers rectangle relation result Riemann integrable rules satisfies sequence shown shows side simple solution space sphere square step subset suppose surface symbols theorem theory tion tree triangle
도서 문헌정보
제목 The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics 발행인 Princeton University Press, 2022 ISBN 069123437X, 9780691234373 길이 456페이지
이계식 "이계식(Gyesik Lee) 수리논리와 수학기초론"
(이계식 n.d.)
Related-Notes
References
이계식. n.d. “이계식(Gyesik Lee) 수리논리와 수학기초론.” Accessed October 25, 2024. https://formal.hknu.ac.kr/.
존 스틸웰. 2015. #기초수학 #유클리드 #괴델 #수학기초론. Translated by 김영주, 이계식, and 최인송. 북스힐. https://www.yes24.com/Product/Goods/111159185.
———. 2022. #증명 #논리 #수학 #역사. Princeton University Press. https://books.google.com?id=LphwEAAAQBAJ.
———. 2024. “John Stillwell #수학자.” In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Stillwell&oldid=1199091141.