#고전역학: #라그랑주 #라그랑지안 - 스피박 기하학적 표기

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라그랑주 역학 Lagrangian mechanics. (2024). In 위키백과, 우리 모두의 백과사전. https://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A3%BC_%EC%97%AD%ED%95%99&oldid=37151742

히스토리

• [2025-06-04 Wed 06:40] 정리

라그랑주 역학 Lagrangian mechanics

(“라그랑주 역학 Lagrangian Mechanics,” 2024)

• 라그랑주 역학(영어: Lagrangian mechanics)은 수학자 조제프루이 라그랑주가 기존의 고전역학을 새롭게 수학적 형식화하여 그의 논문 《해석 역학》을 통해 1788년에 발표한 이론이다. 라그랑주 역학은 수학자 피에르 드 페르마, 모페르튀 등으로부터 출발한 접근 방법인, 최소 시간의 원리와 최소 작용의 원리에 기반한다. 작용은 라그랑지언의 선적분이며, 일종의 범함수이다. 작용을 극소로 만드는 곡선을 구하는 것은 결국 오일러-라그랑주 방정식을 푸는 것으로 귀결되며, 이 편미방을 풀어냄으로써 물체의 궤적을 구할 수 있다.

용어

• 라그랑주 역학
• 라그랑지안

키워드:

로그

2024-12-04

@user 오일러-라그랑주 방정식의 일반적인 표기와 기하학적 표기에 대해서 알려줘

@assistant 오일러-라그랑주 방정식은 변분법에서 중요한 역할을 하는 방정식입니다. 다음은 그 일반적인 표기와 기하학적 표기에 대한 설명입니다:

일반적인 표기

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\right)-\frac{\partial L}{\partial y}=0$

여기서:

• $L(x,y,y^{\prime })$는 라그랑지안 함수로, $y$는 함수, $y^{\prime }$는 $y$의 도함수 $\frac{dy}{dx}$를 나타냅니다.
• $x$는 독립 변수입니다.

기하학적 표기

기하학적으로, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 의미를 가집니다:

1. 함수 공간에서의 최적화: 함수 $y(x)$가 주어진 경로를 따라 이동할 때, 어떤 기능적(Functional) $J[y]$를 최소화하거나 최대화하는 경로를 찾는 문제입니다. 이 때, $J[y]$는 보통 다음과 같이 정의됩니다: $$\begin{gathered} J[y]={\int }_a^{b}L(x,y,y^{\prime }) \\ ,dx \end{gathered}$$

2. 라그랑지안의 기하학적 해석: 라그랑지안 $L$는 주어진 경로에 대한 에너지 또는 비용을 나타내며, 이 에너지를 최소화하는 경로를 찾는 것이 목표입니다.

3. 벡터장과의 관계: 오일러-라그랑주 방정식은 함수 공간에서의 벡터장의 흐름을 따라가는 것과 유사합니다. 이 방정식은 함수 $y(x)$가 주어진 라그랑지안의 기울기 방향으로 움직여야 한다는 것을 의미합니다.

4. 최소 작용의 원리: 물리학에서, 이 방정식은 최소 작용의 원리(Principle of Least Action)를 수학적으로 표현한 것입니다. 즉, 물리적 시스템은 작용(액션)을 최소화하는 경로를 따른다는 원리입니다.

이러한 기하학적 해석은 함수 공간에서의 최적화 문제를 이해하는 데 도움을 주며, 변분법의 여러 응용에서 중요한 역할을 합니다.

@user 위의 기하학적 표기를 함수형 표기법으로 바꿔줄래? 제럴드 서스먼 교수 SICM에서 소개하는 형태.

@assistant 제럴드 서스먼 교수가 소개한 SICM (Structure and Interpretation of Classical Mechanics)에서의 함수형 표기법을 사용하여 오일러-라그랑주 방정식을 표현하면 다음과 같습니다:

(define ((Lagrangian->state-derivative L) local)
  (let ((t (time local))
        (q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (up 0
        (/ (- ((D L) q) (* (D^2 L) v))
           ((D^2 L) q)))))

여기서:

• =L=은 라그랑지안 함수입니다.
• =local=은 시스템의 현재 상태를 나타내며, =(time local)=은 시간, =(coordinate local)=는 좌표, =(velocity local)=는 속도를 나타냅니다.
• =up=은 벡터를 구성하는 함수입니다.
• =D=는 미분 연산자로, =D L=는 라그랑지안에 대한 미분을 의미합니다.
• =D^2=는 두 번째 미분을 의미합니다.

이 함수형 표기법에서는:

• =Lagrangian->state-derivative=는 라그랑지안을 받아 상태의 시간 미분을 계산하는 함수입니다.
• =((D L) q)=는 라그랑지안을 좌표에 대해 미분한 값입니다.
• =(* (D^2 L) v)=는 라그랑지안을 속도에 대해 미분한 값과 속도의 곱입니다.
• =((D^2 L) q)=는 라그랑지안을 좌표에 대해 두 번 미분한 값입니다.

이 표현은 오일러-라그랑주 방정식을 함수형 프로그래밍 방식으로 표현한 것으로, 시스템의 상태 변화를 계산하는 방법을 제공합니다. 이는 물리적 시스템의 동역학을 함수형 프로그래밍 패러다임으로 모델링하는 SICM의 접근 방식을 반영합니다.

@user 방금 알려준 코드에 대응하는 방정식을 수식으로 표기해줄래?

@assistant 방금 제공한 함수형 표기법에 대응하는 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 수식으로 표현될 수 있습니다:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0$

여기서:

• $L$는 라그랑지안 함수입니다.
• $q$는 좌표를 나타냅니다.
• $\dot{q}$는 좌표의 시간 미분, 즉 속도를 나타냅니다.
• $t$는 시간입니다.

이 방정식은 함수형 표기법에서의 다음 부분에 대응합니다:

• $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$는 =((D L) v)=에 해당합니다.
• $\frac{\partial L}{\partial q}$는 =((D L) q)=에 해당합니다.
• $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)$는 라그랑지안을 속도에 대해 미분한 값의 시간 미분으로, 함수형 표기법에서는 =(* (D^2 L) v)=에 해당합니다.

이 수식은 함수형 표기법에서의 상태 변화 계산을 수학적으로 표현한 것입니다.

@user 스피박 표기 함수형 표기법으로 알려줘

@assistant 스피박(Michael Spivak)의 표기법은 함수형 프로그래밍에서의 표현과는 다소 다르지만, 그의 책 “Calculus on Manifolds”에서 사용된 표기법을 함수형 프로그래밍의 관점에서 해석해 보겠습니다. 스피박의 표기법은 주로 미분기하학과 관련된 것이지만, 여기서는 오일러-라그랑주 방정식에 대한 함수형 표현을 고려해 보겠습니다:

스피박의 표기법에서 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\right)-\frac{\partial L}{\partial y}=0$

이를 함수형 프로그래밍의 관점에서 해석하면 다음과 같습니다:

(define ((euler-lagrange L) y)
  (let ((y' (D y)))
    (lambda (x)
      (- (D (lambda (x) ((D L) y' x)) x)
         ((D L) y x)))))

여기서:

• =L=는 라그랑지안 함수입니다.
• =y=는 함수 $y(x)$를 나타냅니다.
• =(D y)=는 함수 $y$의 도함수 $y^{\prime }$를 계산하는 함수입니다.
• =(D L)=는 라그랑지안 $L$에 대한 미분 연산자입니다.
• =(lambda (x) …) =는 주어진 $x$에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 계산하는 익명 함수를 정의합니다.

이 함수형 표기법은 스피박의 표기법을 함수형 프로그래밍의 관점에서 해석한 것으로, 주어진 라그랑지안 $L$와 함수 $y$에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 계산합니다. 이는 스피박의 표기법에서의 미분과 함수의 관계를 함수형 프로그래밍의 패러다임으로 표현한 것입니다.

@user 다음 표기법은 위의 언급한 표기법과 어떤 의미에서 다른가?

@assistant 스피박의 표기법과 함수형 프로그래밍의 표기법은 다음과 같은 점에서 다릅니다:

1. 표현 방식:

   • 스피박의 표기법: 주로 수학적 기호와 공식으로 표현되며, 미분기하학에서 사용되는 표준적인 표기법입니다. 이는 함수와 그 도함수에 대한 미분을 명시적으로 나타냅니다.
   • 함수형 프로그래밍의 표기법: 함수와 그 변환을 중심으로 하며, 함수의 조합과 고차 함수의 사용을 통해 문제를 해결합니다. 이는 프로그래밍 언어의 문법과 구조를 사용하여 표현됩니다.

2. 미분의 표현:

   • 스피박의 표기법: 미분은 $\frac{d}{dx}$와 같은 기호로 명시적으로 표현됩니다.
   • 함수형 프로그래밍의 표기법: 미분은 함수의 도함수를 계산하는 함수로 표현되며, 예를 들어 =(D y)=는 함수 $y$의 도함수를 계산하는 함수입니다.

3. 함수의 처리:

   • 스피박의 표기법: 함수는 주로 연속적인 변수에 대한 수학적 함수로 간주되며, 미분과 적분을 통해 분석됩니다.
   • 함수형 프로그래밍의 표기법: 함수는 데이터로 취급되며, 다른 함수에 의해 변환되거나 조합될 수 있습니다. 함수는 값으로 전달되거나 반환될 수 있습니다.

4. 계산 방식:

   • 스피박의 표기법: 주로 연속적인 변수에 대한 미분과 적분을 통해 문제를 해결합니다.
   • 함수형 프로그래밍의 표기법: 함수의 조합과 재귀를 통해 문제를 해결하며, 상태 변화는 함수의 적용으로 표현됩니다.

5. 목적:

   • 스피박의 표기법: 미분기하학과 관련된 문제를 해결하고, 함수의 성질을 분석하는 데 중점을 둡니다.
   • 함수형 프로그래밍의 표기법: 프로그래밍에서의 함수 조합과 변환을 통해 문제를 해결하고, 코드의 재사용성과 가독성을 높이는 데 중점을 둡니다.

이러한 차이점들은 두 표기법이 서로 다른 목적과 관점에서 문제를 접근하고 해결하는 방식을 반영합니다. 스피박의 표기법은 수학적 이론을 명확히 표현하는 데 중점을 두고, 함수형 프로그래밍의 표기법은 프로그래밍 패러다임을 통해 문제를 해결하는 데 중점을 둡니다.

@user $D({\partial }_{2}L\circ \Gamma [q])-{\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]=0$ 이 표기법은 어때?

@assistant 이 표기법은 오일러-라그랑주 방정식을 함수형 프로그래밍의 관점에서 표현한 것입니다. 다음은 이 표기법의 의미와 특징을 설명합니다:

1. 함수형 프로그래밍의 관점:

   • 이 표기법은 함수형 프로그래밍의 패러다임을 반영하며, 함수의 조합과 변환을 중심으로 문제를 해결합니다.
   • $\Gamma [q]$는 함수 $q$를 상태 공간에서의 경로로 매핑하는 함수입니다. 이는 함수형 프로그래밍에서의 함수 조합을 나타냅니다.

2. 미분의 표현:

   • $D$는 미분 연산자로, 함수에 대한 미분을 나타냅니다. 이는 함수형 프로그래밍에서의 고차 함수로 표현될 수 있습니다.
   • ${\partial }_{2}L$는 라그랑지안 $L$에 대한 두 번째 인자(속도)에 대한 편미분을 의미합니다.
   • ${\partial }_{1}L$는 라그랑지안 $L$에 대한 첫 번째 인자(좌표)에 대한 편미분을 의미합니다.

3. 함수 조합:

   • $\circ$는 함수 조합을 나타내며, ${\partial }_{2}L\circ \Gamma [q]$는 $\Gamma [q]$를 통해 $q$의 경로를 라그랑지안의 두 번째 인자로 매핑한 후, 그에 대한 미분을 계산하는 것을 의미합니다.
   • ${\partial }_{1}L\circ \Gamma [q]$는 $\Gamma [q]$를 통해 $q$의 경로를 라그랑지안의 첫 번째 인자로 매핑한 후, 그에 대한 미분을 계산하는 것을 의미합니다.

4. 오일러-라그랑주 방정식:

   • 이 표기법은 오일러-라그랑주 방정식을 함수형 프로그래밍의 관점에서 표현한 것으로, 라그랑지안의 두 번째 인자에 대한 미분의 시간 미분과 첫 번째 인자에 대한 미분의 차이가 0이 되어야 한다는 조건을 나타냅니다.

이 표기법은 함수형 프로그래밍의 패러다임을 사용하여 오일러-라그랑주 방정식을 표현하며, 함수의 조합과 변환을 통해 문제를 해결하는 방식으로 접근합니다. 이는 함수형 프로그래밍에서의 고차 함수와 함수 조합을 활용하여 복잡한 수학적 문제를 간결하게 표현할 수 있음을 보여줍니다.

@user