@모리스클라인 #수학의확실성 #수학기초론 #역사

References

모리스 클라인. 1967. 수학자가 아닌 사람들을 위한 수학. Translated by 노태복. 승산. https://www.yes24.com/Product/Goods/33310851.

———. 2007. 수학의 확실성 #수학기초론. Translated by 심재관. 사이언스북스. https://m.yes24.com/Goods/Detail/2536121.

저자 : 모리스 클라인 Morris Kline, 1908~1992

1908년 뉴욕에서 태어났다. 브루클린, 자메이카, 퀸스에서 자랐고, 브루클린의 보이스 고등학교를 졸업한 후 뉴욕 대학교에서 수학을 공부했다. 동대학교에서 박사학위를 받은 후 1938년부터 1975년까지 뉴욕 대학교 쿠랑 수리 과학 연구소에서 교수로 재직하며 학생들을 가르쳤다. 은퇴 후에도 쿠랑 수리 과학 연구소의 명예교수로 일하며 다양한 저술을 남겼다.

주요저서로는『수학 입문』(Introduction to Mathematics, 1937) 『수학, 문명을 지배하다』(Mathematics in Western Culture, 1953, 경문사 2005) 『수학과 물리 세계』(Mathematics and the Physical World, 1959) 『수학사상사』(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972, 경문사, 2016) 『왜 교수는 못 가르치는가?』(Why the professor can't teach?: Mathematics and the dilemma of university education, 1977) 『수학의 확실성』(Mathematics: The Loss of Certainty, 1980, 사이언스 북스 2007) 『지식의 추구와 수학』(Mathematics and the Search for Knowledge, 1985) 등이 있다.

수학의 확실성 #수학기초론

(모리스 클라인 2007)

모리스 클라인 심재관
뉴욕 대학교 쿠란트 수리 과학 연구소의 교수로 재직했으며 다양한 수학 대중서로 천문학 분야의 칼 세이건에 맞먹는 명성을 누린 응용 수학자 모리스 클라인의 대표작으로, 피타고라스와 유클리드에서 시작된 서양 수학의 역사를 훑으면서 모든 지식 체계의 전범이자 다른 ...
Mathmathics : The Loss of Certainty

책소개

뉴욕 대학교 쿠란트 수리 과학 연구소의 교수로 재직했으며 다양한 수학 대중서로 천문학 분야의 칼 세이건에 맞먹는 명성을 누린 응용 수학자 모리스 클라인의 대표작으로, 피타고라스와 유클리드에서 시작된 서양 수학의 역사를 훑으면서 모든 지식 체계의 전범이자 다른 모든 학문의 확실성을 보장해 주는 학문의 여왕으로 군림했던 수학이 어떻게 자신의 확실성조차 명확하게 주장하지 못하고 다른 학문과의 연결 고리를 잃어버리게 되었는지 수학의 흥망성쇠를 보여 준다.

유클리드가 『기하학 원론』을 지으면서 가졌던 꿈, 즉 몇 가지 확실한 공리에서 수많은 정리와 수학적 사실을 유도해 낼 수 있는 거대한 연역적 지식 체계를 구축하고자 하는 아이디어가 어떤 사회적, 문화적, 지적 배경 속에서 형성되었으며, 그 아이디어가 역사의 발전과 인간 지식 체계의 변화 속에서 어떻게 좌절을 맛봤는지 생생하게 보여 주고 있다.

책을 시작하며 서론 : 테제 1장 수학의 창세기 2장 수학적 진리의 개화 3장 자연은 수학으로 씌어진 책이다 4장 첫 번째 위기 : 수학적 진리의 퇴색 5장 논리적 주제의 비논리적 발전 6장 비논리적 발전 : 해석학이라는 수렁 7장 비논리적 발전 1800년경의 상황 8장 비논리적 발전 : 낙원의 문턱에 서다 9장 실낙원 : 이성의 새로운 위기 10장 논리주의 대 직관주의 11장 형식주의 집합론 12장 대재앙 13장 수학의 고립 14장 수학은 어디로 가는가 15장 자연의 권위

참고 문헌 옮긴이의 글 찾아보기

수학자가 아닌 사람들을 위한 수학

(모리스 클라인 1967)

모리스 클라인 노태복
『수학자가 아닌 사람들을 위한 수학』의 저자 모리스 클라인은 수학의 대중화를 위해 오랜 기간 동안 힘 써온 수학자이다. 그는 수학과 수학교육에 관한 여러 저술을 남겼고, 순수 수학뿐만 아니라 응용 수학의 의미와 가치를 대중들에게 소개하는 데 큰 공헌을 했다. ...
Mathematics for the nonmathematician

책소개

『수학자가 아닌 사람들을 위한 수학』의 저자 모리스 클라인은 수학의 대중화를 위해 오랜 기간 동안 힘 써온 수학자이다. 그는 수학과 수학교육에 관한 여러 저술을 남겼고, 순수 수학뿐만 아니라 응용 수학의 의미와 가치를 대중들에게 소개하는 데 큰 공헌을 했다.

저자 모리스 클라인은 수학이 현실적으로 공부할 가치가 있는 학문인지 궁금해 하는 독자들에게, 추상적이지 않은 명료한 대답을 내놓는다. 저자는 이 책에서 수학을 서양 문화의 필수적인 일부로서 서술한다. 수학이 어떻게 인류 문명에 나타났고 어떻게 시대에 따라 발전했는지 접근한다. 세계 4대 문명에서부터 시작하여 만물을 수로 설명한 피타고라스, 원론을 쓴 유클리드 등의 그리스 수학자들도 살펴보고, 지동설의 갈릴레오와 만유인력의 뉴턴, 그리고 천재 수학자 갈루아와 상대성 이론의 아인슈타인까지 수학사를 두루 살펴보며 수학과 현대 문화의 관계를 보여준다. 뿐만 아니라 미술, 음악과 같은 예술 분야에 수학이 어떤 영향을 끼쳤는지 논의하고 우리의 일상 속에서 알게 모르게 사용되는 수학적인 면들을 다룬다.

저자는 수학에 흥미를 느끼기 위해서는 먼저 수학에 대한 편견을 없애야 한다고 말하며, 수학이 어떻게 인류 문명에 나타났고 어떻게 시대에 따라 발전했는지 접근한다. 수학이라는 학문의 기원을 알고 그것이 우리의 생활에 어떤 영향을 끼치고 있는지 제대로 인식한다면 수학이 단순히 셈을 하는 학문이라든가 생활과 관련이 없는 학문이라는 편견을 깨트리기 한결 수월해 진다. 그렇기에 모리스 클라인은 과학적 의미와 인문적 의미를 함께 전달하며 서술을 이끌어 나간다.

책 속으로

우리는 자연에 대한 관찰이 어떻게 명제라고 하는 진술로 체계화되는지 살펴볼 것이다. 수학자들은 자연이 꽁꽁 숨기고 있었던 비밀을 추론을 통해 밝혀낸다. 천체 운동의 패턴을 알아내고, 전파의 존재 및 그 이용 방법을 알아내고, 분자와 원자 및 핵의 구조를 이해하고 인공위성을 제작하는 일은 수학적 성취의 몇 가지 기본적인 예들이다. 물리적 데이터를 수학적으로 구성하기와 더불어 새로운 결론을 도출하는 수학적 방법들은 오늘날 모든 자연 탐구의 기본 바탕이다. --- p.27

수학에 관해 마지막으로 짚어볼 측면은 우리가 앞서 말했던 내용 속에 깃들어 있다. 우리는 앞서, 수학이 생겨나도록 만든 문제들, 사고의 어느 특정 방향을 강조했던 문화, 수학의 여러 분야를 언급하면서 마치 이런 여러 힘과 활동이 중력처럼 인간과 무관한 것인 듯 다루었다. 하지만 개념과 사상은 사람이 내놓는 것이다. 수학은 인간의 창조물이다. 비록 대다수의 고대 그리스인들은 수학이 마치 행성이나 산맥처럼 인간과 독립적으로 존재하며 인간이 하는 것이라고는 이미 마련된 진리들을 더 많이 발견해내는 일일뿐이라고 믿었지만, 오늘날의 지배적인 믿음은 수학이 전적으로 인간의 정신활동의 소산이라는 것이다. 확립된 개념, 공리 및 정리는 전부 인간이 자신의 주위 환경을 이해하고 인간의 예술적 본능을 유감없이 발휘하고 흥미진진한 지적 활동에 참여하는 도중에 창조되었다. --- p.61

수학에서 인간적인 요소가 지니는 의미를 알아차리면 다양한 문명들이 만들어낸 수학의 차이점 그리고 천재들의 통찰 덕분에 새로운 방향으로 일어난 급격한 발전을 대체로 이해할 수 있다. 수학만큼 수많은 연구자들의 노력이 축적되어 결실을 이룬 분야도 드물지만, 동시에 위대한 인물들의 역할이 수학만큼 확연히 드러나는 분야도 없다. --- p.63

출판사 리뷰

저자는 비전공자 학생들이 듣는 수학 수업은 과학적 의미와 인문적 의미를 함께 전달해야 한다고 말한다. 사실 우리가 수업 시간에 경험했듯이 본격적인 수학은 별 흥미를 끌지 못하는데다 특히 수학을 전문적으로 공부하지 않는 비전공자 학생들에게는 더욱 와 닿지 않는다. 하지만 수학이라는 과목을 문화적인 맥락에서 소개하면 비전공자 학생들에게도 수학은 매우 의미심장한 과목이 된다. 사실, 기본 수학의 여러 분야들은 주로 수학 외적인 필요와 관심에 이바지할 목적으로 생겨났다. 그런 필요를 충족시키려고 노력하는 과정에서, 수학의 각 분야들이 자연과 세계는 물론이고, 인간 자신을 이해하는 데 더할 나위 없이 중요하다는 점이 입증되었다.

저자는 역사적 접근법을 고수하는데 그렇게 하면 학생들의 흥미를 이끌어낼 수 있고 다양한 주제를 자연스럽게 소개하기 쉬우며 책 전체 내용을 일관성 있게 서술할 수 있기 때문이다. 이 책에서는 수학의 각 주제 내지 분야를 인간의 여러 관심사에 대한 한 가지 탐구 유형으로서 제시한다. 또한 이 책은 기술 발전의 문화적 의미도 소개한다. 저자는 내용의 엄밀성의 수준을 수학 각 분야가 얼마만큼 오래되었느냐보다는 학생들의 수학 이해력이 어느 정도이냐에 맞춘다. 몇몇 주제들을 전반적인 맥락 하에서 그리고 수학의 기본 교과 과정에 적합한 수준으로 소개하는데 일례로, 다양한 종류의 수 및 그 성질을 관련된 물리적 상황과 사용 사례를 통해 밝혀낸 후에야 실수에 대한 공리적 접근법을 정식화한다. 논리학은 아리스토텔레스 논리학의 기본 사항들에 국한해서만 다룬다. 그리고 집합론은 특별한 유형의 대수를 설명하는 수단으로서 다룬다.

본 책은 총 24장으로 이루어져 있다. 중요한 장들만 간략하게 소개해 보겠다. 1장과 2장은 의도적으로 학생들이 부담 없이 읽을 수 있도록 서술되어 있다. 처음 두 장은 본질적으로 중요한 개념 소개와 더불어 학생들이 수학책을 읽도록 유도하여, 수학책을 읽을 수 있다는 확신을 줌과 아울러 수학책 읽기를 습관으로 만드는 것이 목표이다. 저자는 학생들이 초등학교부터 고등학교까지의 수학 수업을 통해 역사책은 읽을 만하지만 수학책은 본질적으로 공식 암기와 숙제를 위한 참고서라고 여기게 되었다고 말하며 이러한 선입견을 깨면 좋을 듯싶어 이 두 장을 썼다고 말한다.

여러 장들은 논리적으로 서로 별개로 이루어져 있다. 추론과 산수 및 대수에 관해서는 3장에서부터 5장까지 그리고 특수한 유형의 대수에 관해서는 21장을 보면 된다. 이런 주제가 발전하여 함수 분야로 이어지는 과정을 탐구하려면 13장과 15장을 보면 된다.

6장, 7장, 11장, 12장, 20장에서는 각 유클리드 기하학, 삼각법, 사영기하학, 좌표기하학, 비유클리드 기하학을 다룬다. 5장에서 살펴보는 일부 대수는 7장과 12장의 내용과 관련이 있다. 5장의 내용을 이미 숙지하고 있지 않다면, 기하학을 다루기 전에 반드시 이 장을 먼저 읽어야 한다.

별표가 달려 있는 장 또는 절이 있는데 이런 장들은 필수사항이 아닌 선택사항이다. 읽지 않고 넘어가도 전체적인 맥락을 이해하는 데 문제는 없다. 가령, 회화에 관한 내용인 10장은 수학자들이 어떻게 사영기하학(11장)을 내놓게 되었는지를 시대적 흐름을 통해 보여준다. 하지만 논리적 관점에서 보자면 10장은 다음 장을 이해하기 위해 굳이 필요하지는 않다. 음악에 관한 19장은 18장에 나오는 삼각함수를 응용한 사례이지만, 책의 일관상을 위해 꼭 필요하지는 않다. 미적분을 다룬 두 장의 내용은 이후 장에서는 다뤄지지 않는다. 통계(22장)와 확률(23장)을 다룬 장도 마찬가지다.

각 장의 말미에는 복습문제가 출제되어 있고 몇몇 절의 말미에는 연습문제가 출제되어 있다. 저자는 기초 개념이 필요한 학생들 그리고 그런 학생들을 가르칠 준비를 하고 있는 교사들을 위해 복습문제와 연습문제를 충분히 실어놓았다. 문제들을 꼼꼼히 풀며 책을 읽어나간다면 개념들을 이해하는 데 더 효과적일 것이다.

저자는 이 책을 현장에서 수학을 배우고 있는 비전공자 학생들과 그들을 가르치고 있는 교사들에게 적극 추천한다. 이 책이 수학 각 분야의 전문적인 부분까지 모두 다룰만큼 전문적인 수학서적은 아니지만, 수학 공부를 시작하는 학생 또는 수학에서 멀어진 학생들에게 수학이 어떤 학문인지 알려주기에는 충분한 방대한 정보를 담은 수학서이다.

이 책은 대상 독자인 여러 유형의 학생들과 그들을 가르칠 준비를 하고 있는 교사들의 요구를 만족시켜줄 것이다. 아울러 전문적인 내용을 강조한 부분도 조금 있긴 하지만, 전반적으로 학생들에게 수학의 풍요로운 의미를 전달해 줄 것이라 생각된다.

2024-12-19

@user 모리스 클라인의 Mathematics for the nonmathematician 책에 대해서 소개해줘.

@assistant 모리스 클라인의 "Mathematics for the Nonmathematician"은 수학에 대한 깊은 이해 없이도 수학의 기본 개념을 쉽게 접근할 수 있도록 도와주는 책입니다. 이 책은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다:

수학의 역사와 철학: 수학의 발전 과정과 그 배경을 설명하여 수학이 어떻게 현재의 형태를 갖추게 되었는지 이해할 수 있습니다.
기본 개념 설명: 수학의 기본 개념을 직관적으로 설명하며, 복잡한 수학적 증명보다는 개념의 이해에 중점을 둡니다.
일상 생활과의 연결: 수학이 우리 생활에서 어떻게 적용되고 있는지를 예시로 보여줍니다.
비전공자를 위한 접근성: 수식보다는 설명과 비유를 통해 수학을 설명하여, 수학에 대한 두려움을 줄이고 흥미를 유발합니다.

이 책은 수학을 전공하지 않은 사람들, 수학에 대한 흥미를 갖고 있지만 어디서부터 시작해야 할지 모르는 사람들에게 적합합니다. 또한, 교사나 학생들이 수학을 더 깊이 이해하고 가르치거나 배우는 데에도 유용할 수 있습니다.

@user 이 책과 로저 펜로즈의 실체에 이르는 길을 비교해줄래?

@assistant 모리스 클라인의 "Mathematics for the Nonmathematician"과 로저 펜로즈의 "The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe"는 둘 다 수학과 물리학에 관한 책이지만, 접근 방식과 목적이 다릅니다:

모리스 클라인의 "Mathematics for the Nonmathematician"

대상 독자: 수학에 대한 깊은 이해 없이도 수학의 기본 개념을 이해하고자 하는 일반 독자.
내용: 수학의 역사, 기본 개념, 일상 생활에서의 적용 등을 직관적으로 설명.
접근 방식: 비전공자에게 쉽게 설명하며, 수학의 철학적 배경과 발전 과정을 중심으로 서술.
목적: 수학에 대한 두려움을 줄이고, 수학의 아름다움과 유용성을 보여줌.

로저 펜로즈의 "The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe"

대상 독자: 물리학과 수학에 관심이 있는 학생, 연구자, 또는 고급 수준의 독자.
내용: 물리학의 법칙과 수학적 기초를 깊이 있게 탐구. 양자역학, 상대성 이론, 수학적 물리학 등을 다룸.
접근 방식: 고급 수학과 물리학의 개념을 엄밀하게 설명하며, 수식과 이론을 중심으로 서술.
목적: 물리학과 수학의 깊은 이해를 통해 우주의 본질을 탐구하고, 현대 물리학의 이론적 기초를 제공.

비교 요약:

난이도: 클라인의 책은 비전공자에게 접근 가능한 반면, 펜로즈의 책은 고급 수학과 물리학 지식을 요구합니다.
목적: 클라인의 책은 수학의 개념을 이해하고 즐기게 하려는 반면, 펜로즈의 책은 우주의 법칙을 이해하고자 하는 학문적 탐구를 목표로 합니다.
접근 방식: 클라인의 책은 직관적이고 설명적이며, 펜로즈의 책은 수학적 엄밀성과 이론적 깊이를 강조합니다.

결론적으로, 두 책은 서로 다른 독자층을 대상으로 하며, 수학과 물리학을 접근하는 방식과 깊이에서 큰 차이가 있습니다.

@user

#junghanacs

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