수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기
(송용진 2023)
- 송용진
책소개
“생각의 근육을 키우는 가장 효과적인 방법!” 위상수학 분야의 세계적인 권위자가 전하는 생각의 힘! 아리스토텔레스부터 앨런 튜링까지 지적 거인들이 펼치는 향연!
이 책의 저자 송용진 인하대 교수는 20 여 년간 국제수학올림피아드 한국대표단 단장 또는 부단장을 맡으며 대한민국이 두 차례 1 등을 거머쥐는 데 기여한 인물이다. 저자는 오랫동안 대학교에서 수리 논리 및 논술, 집합론 등의 과목을 가르치면서 학생들이 논리적 사고에 유난히 약하다는 사실을 실감했고 학생들이 논리만 만나면 갑자기 머리의 회전을 멈춘다는 것을 알게 됐다. 그리고 그 이유가 학생들이 머리가 나빠서가 아니라 논리와 친숙해질 기회가 없어서라는 사실도 알게 되었다. 이 책은 논리에 조금이라도 관심이 있는 사람들이라면 그리 어렵지 않게 ‘논리와 관련된 이런저런 유익한 지식’을 얻어 논리와 친해질 수 있도록 내용이 구성되었다. 우리가 지금까지 보아온 논리에 대한 책은 대부분 어린 학생들을 위한 국어교육 차원의 책이거나 철학을 전공하는 대학생들을 위한 어렵고 형식적인 논리학 교재들이다. 하지만 이 책은 수학자의 장점을 살려 진짜 논리학에 대해 쓴 색다른 대중적인 논리책이다
시작하며
1부 왜 논리인가
01 논리와 친해지기 논리는 머리가 아니라 몸으로 익히는 것 / 논리적 사고의 시작, 인정할 것은 인정하기 / 현대인의 필수 능력, 판단력과 분별력 / 학생들은 미래에 대해 조급해 할 필요가 없다 02 정확함이라는 미덕 가르친다는 사람, 가르킨다는 사람 / 우리말의 어려움 / 한자어로 인한 어려움 03 따지기와 지적하기 따지는 것과 친해지기 / 지적문화 / 주변에서 마주하는 사소한 불합리들
2부 논리적 사고
04 논리학의 기본
그리스와 아라비아의 수학과 논리학 / 명제와 논증 / 논리의 시작은 ‘모든’과 ‘어떤’
05 학교에서 배우는 논리와 수학
학교에서 집합을 안 배워요 / 수학은 원래 어렵다 / 새로운 개념 받아들이기 / 토론을 잘 하려면
06 논리학과 수학
논리학, 집합론, 수학기초론
기호의 힘
논리적 사고의 예
논리학에서도 19세기 후반에 새로운 수리논리학이 등장함과 동시에 바로 기호 사용법이 보편화된다. 기호의 힘을 아는 수학자들은 그들의 논리학을 구성하고 설명하는 과정에서 자연스럽게 새로운 기호를 만들었다. ∀, ∃, ￢(~), ∨, ∧, ⊂, ∈, ⇒, ⇔ 등의 기호는 논리학에서 가장 기본적인 기호다. 그래서 현대논리학을 기호논리학이라고 부르기도 한다. 20년쯤 전까지는 우리나라의 많은 대학에서 이 이름으로 수학과 전공과목을 개설했다. 하지만 현대논리학은 어차피 기호를 사용하며 기호논
증명) (0, 1)의 최댓값이 존재한다고 가정하고 그것을 𝑀이라고 하자. 그러면 𝑀은 (0, 1)의 원소이므로 𝑀＜1이다. 그러면 (임의의 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재하므로) 𝑀보다 크고 1보다 작은 실수 𝑥가 존재한다. 즉, 𝑥가 𝑀보다 크므로 이것은 𝑀이 최댓값이라는 것과 모순이다. 따라서 최댓값은 존재하지 않는다.
07 패러독스 이야기
제논의 패러독스 / 러셀의 패러독스 / 베리의 패러독스 / 상트페테르부르크 패러독스 / 바나흐·타르스키 패러독스
08 여섯 가지 유형의 오류
성급한 일반화의 오류 / 이분법적 논리의 오류 / 필요조건, 충분조건의 혼동에 의한 오류 / 잘못된 가정에 의한 오류 / 확증편향의 오류 / 과학적 소양 부족에 의한 오류
3부 현대논리학의 발전
09 새로운 논리학의 시작
19 세기 독일의 발전 고틀로프 프레게 주세페 페아노 버트런드 러셀
10 수리논리학의 발전
새로운 논리학의 네 가지 특징
칸토어, 무한에 대해 말하다
논리주의, 형식주의, 직관주의
괴델의 불완전성정리와 형식주의의 붕괴
11 현대의 논리학
위대한 논리학자 타르스키
ZF 공리계와 선택공리
튜링머신과 계산가능성
4부 수학 품은 논리학
12 원소들의 모임, 집합
집합을 알려면 기호부터 알아야 한다 / 모든 부분집합의 집합, 멱집합
13 무한의 이해
무한을 이해하려면 함수부터 알아야 한다
무한집합에도 크고 작은 것이 따로 있다
무한집합론의 핵심 칸토어의 정리
무리수는 유리수보다 더 많다
합집합 논법
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Related-Notes
References
송용진. 2023. 수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기. 교보 전자책 구입. https://www.yes24.com/Product/Goods/119613690.