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@송용진 #수학 #개념서 #수리논리 #위상수학

25 min read

수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기

(송용진 2023)

  • 송용진

책소개

“생각의 근육을 키우는 가장 효과적인 방법!” 위상수학 분야의 세계적인 권위자가 전하는 생각의 힘! 아리스토텔레스부터 앨런 튜링까지 지적 거인들이 펼치는 향연!

이 책의 저자 송용진 인하대 교수는 20 여 년간 국제수학올림피아드 한국대표단 단장 또는 부단장을 맡으며 대한민국이 두 차례 1 등을 거머쥐는 데 기여한 인물이다. 저자는 오랫동안 대학교에서 수리 논리 및 논술, 집합론 등의 과목을 가르치면서 학생들이 논리적 사고에 유난히 약하다는 사실을 실감했고 학생들이 논리만 만나면 갑자기 머리의 회전을 멈춘다는 것을 알게 됐다. 그리고 그 이유가 학생들이 머리가 나빠서가 아니라 논리와 친숙해질 기회가 없어서라는 사실도 알게 되었다. 이 책은 논리에 조금이라도 관심이 있는 사람들이라면 그리 어렵지 않게 ‘논리와 관련된 이런저런 유익한 지식’을 얻어 논리와 친해질 수 있도록 내용이 구성되었다. 우리가 지금까지 보아온 논리에 대한 책은 대부분 어린 학생들을 위한 국어교육 차원의 책이거나 철학을 전공하는 대학생들을 위한 어렵고 형식적인 논리학 교재들이다. 하지만 이 책은 수학자의 장점을 살려 진짜 논리학에 대해 쓴 색다른 대중적인 논리책이다

시작하며

1부 왜 논리인가

01 논리와 친해지기 논리는 머리가 아니라 몸으로 익히는 것 / 논리적 사고의 시작, 인정할 것은 인정하기 / 현대인의 필수 능력, 판단력과 분별력 / 학생들은 미래에 대해 조급해 할 필요가 없다 02 정확함이라는 미덕 가르친다는 사람, 가르킨다는 사람 / 우리말의 어려움 / 한자어로 인한 어려움 03 따지기와 지적하기 따지는 것과 친해지기 / 지적문화 / 주변에서 마주하는 사소한 불합리들

2부 논리적 사고

04 논리학의 기본

그리스와 아라비아의 수학과 논리학 / 명제와 논증 / 논리의 시작은 ‘모든’과 ‘어떤’

05 학교에서 배우는 논리와 수학

학교에서 집합을 안 배워요 / 수학은 원래 어렵다 / 새로운 개념 받아들이기 / 토론을 잘 하려면

06 논리학과 수학

  • 논리학, 집합론, 수학기초론
  • 기호의 힘

  • 논리적 사고의 예

    논리학에서도 19세기 후반에 새로운 수리논리학이 등장함과 동시에 바로 기호 사용법이 보편화된다. 기호의 힘을 아는 수학자들은 그들의 논리학을 구성하고 설명하는 과정에서 자연스럽게 새로운 기호를 만들었다. ∀, ∃, ￢(~), ∨, ∧, ⊂, ∈, ⇒, ⇔ 등의 기호는 논리학에서 가장 기본적인 기호다. 그래서 현대논리학을 기호논리학이라고 부르기도 한다. 20년쯤 전까지는 우리나라의 많은 대학에서 이 이름으로 수학과 전공과목을 개설했다. 하지만 현대논리학은 어차피 기호를 사용하며 기호논

    증명) (0, 1)의 최댓값이 존재한다고 가정하고 그것을 𝑀이라고 하자. 그러면 𝑀은 (0, 1)의 원소이므로 𝑀＜1이다. 그러면 (임의의 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재하므로) 𝑀보다 크고 1보다 작은 실수 𝑥가 존재한다. 즉, 𝑥가 𝑀보다 크므로 이것은 𝑀이 최댓값이라는 것과 모순이다. 따라서 최댓값은 존재하지 않는다.

07 패러독스 이야기

제논의 패러독스 / 러셀의 패러독스 / 베리의 패러독스 / 상트페테르부르크 패러독스 / 바나흐·타르스키 패러독스

08 여섯 가지 유형의 오류

성급한 일반화의 오류 / 이분법적 논리의 오류 / 필요조건, 충분조건의 혼동에 의한 오류 / 잘못된 가정에 의한 오류 / 확증편향의 오류 / 과학적 소양 부족에 의한 오류

3부 현대논리학의 발전

09 새로운 논리학의 시작

19 세기 독일의 발전 고틀로프 프레게 주세페 페아노 버트런드 러셀

10 수리논리학의 발전

  • 새로운 논리학의 네 가지 특징
  • 칸토어, 무한에 대해 말하다
  • 논리주의, 형식주의, 직관주의
  • 괴델의 불완전성정리와 형식주의의 붕괴

11 현대의 논리학

  • 위대한 논리학자 타르스키
  • ZF 공리계와 선택공리
  • 튜링머신과 계산가능성

4부 수학 품은 논리학

12 원소들의 모임, 집합

집합을 알려면 기호부터 알아야 한다 / 모든 부분집합의 집합, 멱집합

13 무한의 이해

  • 무한을 이해하려면 함수부터 알아야 한다
  • 무한집합에도 크고 작은 것이 따로 있다
  • 무한집합론의 핵심 칸토어의 정리
  • 무리수는 유리수보다 더 많다
  • 합집합 논법

찾아보기

수학은 우주로 흐른다 : 문명을 이끈 수학과 과학에 관한 21가지 이야기

(송용진 2021) 송용진 2021

“수학은 수천 년간 지속적으로 발전해 온 유일한 학문이다”수리 자본주의 시대에 읽어야 할 단 한 권의 교양서!위상수학 분야 세계적 권위자의 지적 모험수학과 기초과학의 발전으로 인류는 찬란한 과학의 시대를 열었다. 응용과학이 급속히 발전함에 따라 수학은 잠시 중…

  • 머리말_과학이 바꿀 1만 년 후의 세상이 궁금합니다

  • 첫 번째 이야기_과학은 이제 막 태동하기 시작했다

  • 최신 과학의 시대 | 풍요로워지면 선량해진다 | 인류 최대 관심사의 변화 | 과학이 맞이할 미래 | 인간은 죽음을 극복할까?

  • 두 번째 이야기_인류라는 하나의 군생명체

  • 7000년간 뼈 무덤을 쌓은 하이에나 | 인간의 몸이 바뀌고 있다 | 요즘에는 수학도 더 잘한다 | 인류의 변화가 가져올 미래

  • 세 번째 이야기_자연철학은 어떻게 과학이 되었나

  • 자연의 원리를 탐구하다 | 자신을 수학자로 알았던 뉴턴 | 한자어로 번역된 용어들 | ‘수학’,‘과학’이라는 용어

  • 네 번째 이야기_“1만 년 후의 과학이라고요?”

  • 지식은 언젠가 반드시 쓰인다 | 환경오염과 저출산 문제 | 지구를 위한 노력 | 인류는 답을 찾을 것이다

  • 다섯 번째 이야기_수천 년간 지속 발전해 온 유일한 학문

  • 거대한 지식의 탑을 쌓다 | 수학자와 수학교육자 | 기호의 탄생 | 0의 발견이 대단한 이유 | 덧셈, 뺄셈, 등호의 등장 | 문자 계산의 혁신이 시작되다

  • 여섯 번째 이야기_현대 문명에서 수학이 하는 일

  • 수학자들은 무엇을 연구할까? | 순수수학의 세계 | 수학과 자연과학의 차이 | 인류 문명과 수학

  • 일곱 번째 이야기_우주와 소통하기 위한 언어

  • 완전한 진리를 추구하다 | 뉴턴과 아인슈타인의 언어 | 수식과 정리, 그리고 이론 | 수학자들을 사로잡은 기하 | 빛을 연구하며 우주를 이해하다 | 최속강하곡선과 천재 수학자들 | 현대의 기하학 | 가장 자주 쓰는 언어, 미분방정식

  • 여덟 번째 이야기_수리 자본주의 시대가 온다

  • 오일러, 수학을 현대화시키다 | 순수수학을 발전시킨 힐베르트 | 수학의 응용 가치를 높인 폰 노이만 | 수리 자본주의 시대에 필요한 것 | 인공지능 연구와 수학의 역할 | 알고리즘 과제를 해결할 무기 | 인공지능에 관한 4가지 착각

  • 아홉 번째 이야기_인류의 역사를 바꾼 과학적 발견

  • 위생 개념을 만든 세균 | 천체의 비밀을 밝힌 망원경 | 세균을 발견해 낸 현미경 | 지동설과 둥근 지구

  • 열 번째 이야기_명나라의 과학은 왜 유럽에 뒤처졌을까?

  • 전 세계를 지배한 유럽 | 끝없이 전쟁을 치르다 | 유럽의 진리 탐구 정신 | 아편전쟁에서 패배한 중국 | 일본의 메이지유신과 유럽 | 과학을 발전시킨 그리스의 철학

  • 열한 번째 이야기_지난 1000년간 세상을 뒤바꾼 20인

  • 문명의 발전에 기여한 과학 | 또 다른 인물들

  • 열두 번째 이야기_몽골제국의 침략과 유럽의 르네상스

  • ‘이교도’에게 무너진 기독교 | 몽골제국의 강력한 전투력 | 유럽으로 흑사병이 퍼지다 | 종이, 화약, 나침반의 전파 | 브랜디의 진짜 원조

  • 열세 번째 이야기_종교와 과학의 끈질긴 힘겨루기

  • 최고의 도서관이 파괴되다 | 문명 발달의 중심지, 바그다드 | 이슬람의 과학이 기독교 세계로 유입되다 | 공용어가 문명에 끼치는 영향 | 문명을 파괴한 종교들 | 기독교와 과학의 공통점 | ‘신의 뜻’을 연구하다 | 천동설과 지동설 | 데카르트는 신을 믿었을까? | 종교 갈등이 빚은 비극들 | 마녀사냥과 홀로코스트 | 진화론과 창조론 | 종교와 과학의 역할

  • 열네 번째 이야기_과학이 가장 발달한 100년은 언제일까?

  • 19~20세기 유럽의 수학자들 | 벨에포크 시대의 종말 | 영국 최고의 전성기 | 전자기학을 발전시킨 두 사람 | 독일 괴팅겐의 수학자들 | 청나라의 양무운동

  • 열다섯 번째 이야기_근현대에 꽃핀 일본의 과학기술

  • 메이지유신 이전의 과학 | 19~20세기 일본의 과학자들 | 이화학연구소와 노벨상 | 과학연구도시를 만들다 | 기독교가 전파되지 않은 이유

  • 열여섯 번째 이야기_미국과 중국의 21세기 과학 전쟁

  • 기묘한 대립 관계 | 과학기술로 승부하다 | 친미 VS. 친중

  • 열일곱 번째 이야기_인공위성을 쏘아 올리는 나라

  • 세계적으로 발전한 한국의 수학 | 냉전 시대의 인공위성 전쟁 | 독일과 일본의 활약 | 나로호와 누리호 | 경제성을 갖춘 발사체 | 기초과학의 중요성 | 순수이론과학도 중요하다 | 인재를 자국에서 교육하는 나라

  • 열여덟 번째 이야기_수학적 사고가 필요한 이유

  • 판단력과 분별력 | 과학 상식의 중요성 | 왜 음모론을 믿을까? | 생명과 직결되는 과학 | 오답을 알아내는 힘 | 교육에서의 핵심역량 | 판단력이 중요하다

  • 열아홉 번째 이야기_우주가 휘어져 있다는 게 무슨 말일까?

  • 4차원이라는 세계 | 중력과 관성력은 같다 | 아인슈타인의 일반상대성 이론

  • 스무 번째 이야기_외계인이 지구에 와 있다면

  • 외계인은 어떤 모습일까? | 이미 지구에 와 있다면

  • 스물한 번째 이야기_1만 년 후의 인간을 상상하다

  • 평균수명 1000세 | 현실과 가상의 융합 | 핵융합 무한 에너지 | 슈퍼지능의 탄생 | 고도로 진화한 인간 | 더 나은 삶을 살다

  • 주

  • 사진 출처

수학 개념서 - 수학의 숲을 걷다

(송용진 2025)

김민형 수학자, 김현철 물리학자, 최윤성 국가수리과학연구소 소장 추천 “수학의 본질을 꿰뚫다!”위상수학의 거장이자 수학올림피아드의 스승송용진 교수와 떠나는 47번의 수학 개념 산책’수학’에 대해 어떤 이미지를 갖고 있는가? 출구가 안 보이는 미로, 어렵지…

소개

“수학의 본질을 꿰뚫다!” 위상수학의 거장이자 수학올림피아드의 스승 송용진 교수와 떠나는 47번의 수학 개념 산책

‘수학’에 대해 어떤 이미지를 갖고 있는가? 출구가 안 보이는 미로, 어렵지만 가까워지고 싶은 친구, 또는 재미있는 게임 등 사람마다 느끼는 바는 다를 것이다. 하나 분명한 것은 수학은 어려운 학문이라는 점이다. 간단해 보이는 개념과 기호들도 수많은 수학자들이 어렵게 깨닫고 정리한 것들이니 말이다. 그렇기에 수학의 기초 개념은 쉽게 이해하고 습득할 수 있는 것이 아니다. 수학공부 때문에 마음고생을 한 경험이 있다면, 자연스러운 일이다. 배우고 깨치기 어렵지만, 수학은 우리 삶에 필요한 학문이다. 학교 공부에서 필수 과목이고 경제 및 사회 현상이나 역사적 흐름 등을 설명하는 데도 빠질 수 없다. 수천 년간 인류 문명과 함께 발전해 온 유일한 학문이자 지적 유산이다. AI 시대에 더욱 필수적인 논리력, 사고력, 문제해결력을 키워 주는 학문이기도 하다. 꼭 이공계 전공자가 아니더라도 수학을 알아야 하는 이유다. 그런데 이토록 중요한 수학을 우리는 얼마나 제대로 알고 있을까? 팍팍한 경쟁 속에서 이해할 틈도 없이 공식을 외우고 문제 풀이에만 급급하지 않았던가? 빽빽한 나무 사이에서 헤매다 숲을 못 보고 지나오지 않았던가? 위상수학 분야의 세계적 권위자이자 국제수학올림피아드 한국대표단을 30년간 이끌어 온 송용진 교수는, 많은 사람들이 갖고 있는 수학에 대한 갈증을 해소하기 위해 이 책 『수학의 숲을 걷다』를 썼다.

저자는 한평생 수학교육의 최전선에서 헌신하며 받은 수많은 질문들, 즉 수학을 공부하는 사람들이 궁금해하고 어려워하는 개념 원리 중 47개를 추려 소개한다. 실수, 집합과 함수, 극한과 미적분 등 수학의 핵심 개념들을 엄선하고 그 개념들의 진정한 의미를 적절한 비유와 사례를 들어 명쾌하게 설명한다. 수학을 전공하거나 입시를 준비하는 학생뿐 아니라 수학에 호기심과 궁금증을 가진 모든 이들에게 추천한다. 수학을 효과적으로 지도하는 방법과 통찰의 기회를 제공하므로 수학 교사 등 교육자에게도 일독을 권한다.

서문 편안한 마음으로 수학을 되짚어 볼까요?

1부 수학의 가치 - 수학, 진리를 찾는 열쇠

  1. 수학공부, 꼭 해야 하나요?
  2. 수학에 소질이 없는데 어떡하죠?
  3. 어떻게 하면 수학을 쉽고 재미있게 공부할 수 있나요?
  4. ‘수학은 신의 언어’ 너무 거창한 말 아닌가요?
  5. 수학은 ‘발견’인가요, ‘발명’인가요?
  6. 수학자들은 어떤 연구를 하나요?
  7. 앞으로는 수학문제를 AI가 풀어 줄 텐데요?

2부 실수 - 수를 읽는 지적인 시간

  1. 1+1은 2일 수도 있고 아닐 수도 있나요?
  2. 그래서 √2란 무엇인가요?
  3. 0은 왜 그렇게 중요한 수인가요?
  4. 음수 곱하기 음수는 왜 양수인가요?
  5. 분모의 유리화는 꼭 해야 하나요?
  6. 저는 90°가 π/2보다 더 편한데요?

3부 집합과 함수 - 모든 것을 담는 상자

  1. 집합은 꼭 필요한 개념인가요?
  2. 집합은 어떻게 논리에 쓰이나요?
  3. 집합끼리 곱한다고요?
  4. 좌표가 왜 그렇게 중요한가요?
  5. 함수는 input, output으로 이해하면 되는 것 아닌가요?
  6. 함수와 그래프를 왜 구별해야 하나요?
  7. 일대일함수와 전사함수란 무엇인가요?
  8. 연속함수란 무슨 의미지요?

4부 극한과 미적분 - 아름다운 무한의 세계로

  1. 그래도 0.999···는 1보다 작은 수 아닌가요?
  2. 극한이란 구체적인 수가 아니라 접근하는 상황 아닌가요?
  3. 미분과 적분은 왜 쌍으로 다니나요?
  4. 평균값정리는 왜 자주 등장하나요?
  5. 미적분을 왜 배워야 하나요?
  6. 왜 자연상수 e가 중요한가요?
  7. 지수함수는 정의하기 어렵다고요?
  8. dy/dx는 실제로 분수인가요?
  9. 역함수는 어떻게 쓰이나요?

5부 수의 신비 - 세상의 비밀을 담고 있는 수에 대한 이야기

  1. 소수는 왜 중요한가요?
  2. 허수 i는 어떤 수인가요?
  3. 복소수에는 어떤 비밀이 있나요?
  4. π를 왜 신비로운 수라고 하나요?
  5. π의 근삿값은 얼마나 정확하게 구해졌나요?
  6. 초월수란 무엇인가요?
  7. 피보나치 수열은 왜 그렇게 유명한가요?

6부 수학과 논리 - 생각의 힘을 키우는 법

  1. 논리가 철학이 아니고 수학이라고요?
  2. 현대적인 논리학이란 어떤 것인가요?
  3. 수학공부에는 어떤 논리가 필요한가요?
  4. ‘만족하다’가 맞나요, ‘만족시키다’가 맞나요?
  5. 귀류법은 왜 어려운가요?
  6. 수학적 귀납법은 정말 완벽한 것인가요?
  7. 열린구간 (0, 1)의 최댓값은 무엇인가요?
  8. 무한에는 작은 무한과 큰 무한이 있다고요?
  9. 왜 무리수가 유리수보다 더 많나요?
  10. 그리스의 공리적 논증수학이란 어떤 것인가요?

BIBLIOGRAPHY

송용진. 2021. 수학은 우주로 흐른다 : 문명을 이끈 수학과 과학에 관한 21가지 이야기. https://www.yes24.com/product/goods/105610948.

———. 2023. 수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기. 교보 전자책 구입. https://www.yes24.com/Product/Goods/119613690.

———. 2025. 수학의 숲을 걷다. https://www.yes24.com/product/goods/144043592.

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