†#수학 10.2

BIBLIOGRAPHY

“응용수학 Applied Mathematics.” 2025. In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Applied_mathematics&oldid=1282191387.

“수학 분야 Areas of Mathematics.” 2025. In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=1287448987#Areas_of_mathematics.

“수학의 역사 History of Mathematics.” 2025. In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=History_of_mathematics&oldid=1286346018.

“수학 Mathematics.” 2024. 나무위키. December 3, 2024. https://namu.wiki/w/%EC%88%98%ED%95%99.

“수학 Mathematics.” 2025. In Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=1287448987.

History

• [2025-04-29 Tue 10:29] History and Foundations of Mathematics

History

• [2025-04-28 Mon 16:07] @쿠르트괴델 (1906-1978) 수학자 수리논리 #불완전성정리을 생각하면서 수학 †#수리논리학 #기호논리학 #수학기초론을 본다.

수학 Mathematics

• (“수학 Mathematics” 2025)
• (“수학 Mathematics” 2024) 2025

Mathematics is a field of study that discovers and organizes methods, theories and theorems that are developed and proved for the needs of empirical sciences and mathematics itself. There are many areas of mathematics, which include number theory (the study of numbers), algebra (the study of formulas and related structures), geometry (the study of shapes and spaces that contain them), analysis (the study of continuous changes), and set theory (presently used as a foundation for all mathematics). Mathematics involves the description and manipulation of abstract objects that consist of either abstractions from nature or—in modern mathematics—purely abstract entities that are stipulated to have certain properties, called axioms. Mathematics uses pure reason to prove properties of objects, a proof consisting of a succession of applications of deductive rules to already established results. These results include previously proved theorems, axioms, and—in case of abstraction from nature—some basic properties that are considered true starting points of the theory under consideration. Mathematics is essential in the natural sciences, engineering, medicine, finance, computer science, and the social sciences. Although mathematics is extensively used for modeling phenomena, the fundamental truths of mathematics are independent of any scientific experimentation. Some areas of mathematics, such as statistics and game theory, are developed in close correlation with their applications and are often grouped under applied mathematics. Other areas are developed independently from any application (and are therefore called pure mathematics) but often later find practical applications. Historically, the concept of a proof and its associated mathematical rigour first appeared in Greek mathematics, most notably in Euclid’s Elements. Since its beginning, mathematics was primarily divided into geometry and arithmetic (the manipulation of natural numbers and fractions), until the 16th and 17th centuries, when algebra and infinitesimal calculus were introduced as new fields. Since then, the interaction between mathematical innovations and scientific discoveries has led to a correlated increase in the development of both. At the end of the 19th century, the foundational crisis of mathematics led to the systematization of the axiomatic method, which heralded a dramatic increase in the number of mathematical areas and their fields of application. The contemporary Mathematics Subject Classification lists more than sixty first-level areas of mathematics.

수학은 경험적 과학과 수학 자체의 필요에 의해 개발되고 증명된 방법, 이론, 정리를 발견하고 정리하는 학문 분야입니다. 수학에는 수론(수에 대한 학문), 대수(공식과 관련 구조에 대한 학문), 기하학(도형과 이를 포함하는 공간에 대한 학문), 해석(연속적인 변화에 대한 학문), 집합론(현재 모든 수학의 기초로 사용되는) 등 많은 분야가 있습니다. 수학은 자연에서 추상화하거나 현대 수학에서는 공리라고 하는 특정 속성을 갖도록 규정된 순수 추상 실체로 구성된 추상적인 대상을 기술하고 조작하는 것을 포함합니다. 수학은 순수한 이성을 사용하여 대상의 속성을 증명하며, 증명은 이미 확립된 결과에 연역적 규칙을 연속적으로 적용하는 것으로 구성됩니다. 이러한 결과에는 이전에 증명된 정리, 공리, 그리고 자연에서 추상화된 경우 고려 중인 이론의 진정한 출발점으로 간주되는 몇 가지 기본 속성이 포함됩니다. 수학은 자연과학, 공학, 의학, 금융, 컴퓨터 과학 및 사회과학 분야에서 필수적입니다. 수학은 현상을 모델링하는 데 광범위하게 사용되지만 수학의 기본 진리는 어떤 과학적 실험과도 무관합니다. 통계학이나 게임 이론과 같은 수학의 일부 영역은 응용 분야와 밀접한 상관관계 속에서 발전하며 응용 수학으로 분류되기도 합니다. 다른 영역은 응용 분야와 독립적으로 개발되었지만(따라서 순수 수학이라고도 함) 나중에 실용적인 응용 분야를 찾는 경우가 많습니다. 역사적으로 증명이라는 개념과 그와 관련된 수학적 엄밀성은 그리스 수학, 특히 유클리드 원론에서 처음 등장했습니다. 수학이 시작된 이래 수학은 주로 기하학과 산술(자연수와 분수의 조작)로 나뉘었으며, 16~17세기에 대수학과 무한대 미적분이 새로운 분야로 도입되기 전까지 수학은 주로 기하학과 산술로 나뉘었습니다. 그 이후로 수학적 혁신과 과학적 발견의 상호 작용으로 인해 두 분야의 발전이 상관관계에 따라 증가했습니다. 19세기 말, 수학의 근본적인 위기는 공리주의적 방법의 체계화로 이어졌고, 이는 수학 영역과 그 응용 분야의 급격한 증가를 예고했습니다. 현대 수학 과목 분류에는 60개 이상의 1급 수학 영역이 나열되어 있습니다.

관련메타

• 1=10 †#메타지식 10 The Branches of Knowledge

Division II. Mathematics

[For Part Ten headnote see page 479.]

섹션 II의 세 섹션에서는 수학의 역사와 기초, 수학의 분야, 수학의 응용을 다룹니다. 섹션 10/21에서는 먼저 수학의 일반적인 역사, 수학의 대표적인 비확률적 영역의 발전, 확률적 영역의 역사적 발전을 다룹니다. 수학의 기초는 공리적 방법, 유전적 방법, 20세기 수학의 기초에 대한 경쟁적 공식화, 수학의 기초에 대한 현재 연구 등을 다룹니다.

수학의 한 분야인 10/22과에서는 먼저 집합론, 산술, 초등 다변량 대수, 선형 대수 및 다선형 대수, 동형 대수 및 범용 대수 과목을 포함한 대수 구조를 다룹니다. 이어서 유클리드 기하와 비유클리드 기하, 투영 기하, 해석 기하와 삼각 기하, 미분 기하, 대수 기하를 다룹니다. 그런 다음 수학적 분석의 세분화인 실수 해석, 복소 해석, 미분 방정식, 함수 해석, 푸리에 해석, 확률 이론, 벡터 및 텐서 해석을 다룹니다. 다음으로 조합론과 조합 기하학, 정수론을 다룹니다. 마지막으로 일반 위상수학, 위상 군과 미분 위상수학, 대수 위상수학 등 위상수학을 다룹니다. 10/23장 수학의 응용에서는 먼저 계산 과학으로서의 수학을 다룬 다음 통계, 수치 해석, 오토마타의 정의와 예, 오토마타 이론의 발전, 최적화의 수학적 이론, 정보 이론, 물리 이론의 수학적 측면을 다룹니다.

1=10=2=1 †#프로피디아#메타지식#수학: §역사 §기반/기초

10/21. History and Foundations of Mathematics 483

1=10=2=2 †#프로피디아#메타지식#수학: §분야

10/22. Branches of Mathematics 485

1=10=2=3 †#프로피디아#메타지식#수학: §응용/활용

10/23. Applications of Mathematics 490

Related-Notes

수학의 역사 History of mathematics

(“수학의 역사 History of Mathematics” 2025)

The history of mathematics deals with the origin of discoveries in mathematics and the mathematical methods and notation of the past. Before the modern age and the worldwide spread of knowledge, written examples of new mathematical developments have come to light only in a few locales. From 3000 BC the Mesopotamian states of Sumer, Akkad and Assyria, followed closely by Ancient Egypt and the Levantine state of Ebla began using arithmetic, algebra and geometry for purposes of taxation, commerce, trade and also in the field of astronomy to record time and formulate calendars. The earliest mathematical texts available are from Mesopotamia and Egypt – Plimpton 322 (Babylonian c.\,2000 – 1900 BC), the Rhind Mathematical Papyrus (Egyptian c. 1800 BC) and the Moscow Mathematical Papyrus (Egyptian c. 1890 BC). All of these texts mention the so-called Pythagorean triples, so, by inference, the Pythagorean theorem seems to be the most ancient and widespread mathematical development after basic arithmetic and geometry. The study of mathematics as a “demonstrative discipline” began in the 6th century BC with the Pythagoreans, who coined the term “mathematics” from the ancient Greek μάθημα (mathema), meaning “subject of instruction”. Greek mathematics greatly refined the methods (especially through the introduction of deductive reasoning and mathematical rigor in proofs) and expanded the subject matter of mathematics. The ancient Romans used applied mathematics in surveying, structural engineering, mechanical engineering, bookkeeping, creation of lunar and solar calendars, and even arts and crafts. Chinese mathematics made early contributions, including a place value system and the first use of negative numbers. The Hindu–Arabic numeral system and the rules for the use of its operations, in use throughout the world today evolved over the course of the first millennium AD in India and were transmitted to the Western world via Islamic mathematics through the work of Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Islamic mathematics, in turn, developed and expanded the mathematics known to these civilizations. Contemporaneous with but independent of these traditions were the mathematics developed by the Maya civilization of Mexico and Central America, where the concept of zero was given a standard symbol in Maya numerals. Many Greek and Arabic texts on mathematics were translated into Latin from the 12th century onward, leading to further development of mathematics in Medieval Europe. From ancient times through the Middle Ages, periods of mathematical discovery were often followed by centuries of stagnation. Beginning in Renaissance Italy in the 15th century, new mathematical developments, interacting with new scientific discoveries, were made at an increasing pace that continues through the present day. This includes the groundbreaking work of both Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz in the development of infinitesimal calculus during the course of the 17th century and following discoveries of German mathematicians like Carl Friedrich Gauss and David Hilbert.

수학의 역사는 수학 발견의 기원과 과거의 수학적 방법 및 표기법을 다룹니다. 현대에 이르러 지식이 전 세계적으로 확산되기 전에는 새로운 수학적 발전에 대한 기록이 몇몇 지역에서만 발견되었습니다. 기원전 3000년부터 메소포타미아의 수메르, 아카드, 아시리아 국가와 고대 이집트, 레반트의 에블라 국가는 조세, 상업, 무역, 그리고 천문학 분야에서 시간을 기록하고 달력을 만들기 위해 산술, 대수, 기하학을 사용하기 시작했습니다. 가장 오래된 수학 텍스트는 메소포타미아와 이집트에서 나온 플림톤 322(기원전 2000~1900년 바빌로니아), 린드 수학 파피루스(기원전 1800년 이집트), 모스크바 수학 파피루스(기원전 1890년 이집트) 등입니다. 이 모든 텍스트에는 소위 피타고라스의 삼각형이 언급되어 있으므로 추론에 따르면 피타고라스 정리는 기본 산술과 기하학 다음으로 가장 오래되고 널리 퍼진 수학적 발전인 것으로 보입니다. “실증적 학문”으로서의 수학 연구는 기원전 6세기에 고대 그리스어 μάθημα(마테마)에서 “수학”이라는 용어를 만들어낸 피타고라스인들에 의해 시작되었으며, “가르침의 대상”이라는 뜻입니다. 그리스 수학은 특히 연역적 추론과 증명에 수학적 엄밀성을 도입함으로써 수학의 방법을 크게 개선하고 수학의 주제를 확장했습니다. 고대 로마인들은 측량, 구조 공학, 기계 공학, 부기, 음력 및 태양력 제작, 심지어 예술과 공예에까지 응용 수학을 사용했습니다. 중국 수학은 자릿값 체계와 음수의 최초 사용 등 초기에 많은 공헌을 했습니다. 오늘날 전 세계에서 사용되고 있는 힌두-아랍 숫자 체계와 그 연산 규칙은 인도에서 서기 천년 동안 발전했으며, 이슬람 수학을 통해 무함마드 이븐 무사 알 콰리즈미의 연구를 통해 서구 세계로 전해졌습니다. 이슬람 수학은 차례로 이들 문명에 알려진 수학을 발전시키고 확장했습니다. 이러한 전통과 동시대에 멕시코와 중앙 아메리카의 마야 문명에서 0의 개념을 마야 숫자의 표준 기호로 사용한 수학이 개발되었습니다. 12세기 이후 수학에 관한 많은 그리스어와 아랍어 텍스트가 라틴어로 번역되어 중세 유럽에서 수학이 더욱 발전했습니다. 고대부터 중세까지 수학적 발견의 시기 이후에는 종종 수세기에 걸친 침체기가 이어졌습니다. 15세기 르네상스 이탈리아에서 시작된 새로운 수학적 발전은 새로운 과학적 발견과 상호작용하며 빠른 속도로 이루어졌고, 이는 오늘날까지 이어지고 있습니다. 여기에는 17세기 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 무한대 미적분학 개발과 칼 프리드리히 가우스와 데이비드 힐버트 같은 독일 수학자의 발견에 따른 획기적인 업적이 포함됩니다.

수학 분야 Areas of mathematics

(“수학 분야 Areas of Mathematics” 2025)

Mathematics is a field of study that discovers and organizes methods, theories and theorems that are developed and proved for the needs of empirical sciences and mathematics itself. There are many areas of mathematics, which include number theory (the study of numbers), algebra (the study of formulas and related structures), geometry (the study of shapes and spaces that contain them), analysis (the study of continuous changes), and set theory (presently used as a foundation for all mathematics). Mathematics involves the description and manipulation of abstract objects that consist of either abstractions from nature or—in modern mathematics—purely abstract entities that are stipulated to have certain properties, called axioms. Mathematics uses pure reason to prove properties of objects, a proof consisting of a succession of applications of deductive rules to already established results. These results include previously proved theorems, axioms, and—in case of abstraction from nature—some basic properties that are considered true starting points of the theory under consideration. Mathematics is essential in the natural sciences, engineering, medicine, finance, computer science, and the social sciences. Although mathematics is extensively used for modeling phenomena, the fundamental truths of mathematics are independent of any scientific experimentation. Some areas of mathematics, such as statistics and game theory, are developed in close correlation with their applications and are often grouped under applied mathematics. Other areas are developed independently from any application (and are therefore called pure mathematics) but often later find practical applications. Historically, the concept of a proof and its associated mathematical rigour first appeared in Greek mathematics, most notably in Euclid’s Elements. Since its beginning, mathematics was primarily divided into geometry and arithmetic (the manipulation of natural numbers and fractions), until the 16th and 17th centuries, when algebra and infinitesimal calculus were introduced as new fields. Since then, the interaction between mathematical innovations and scientific discoveries has led to a correlated increase in the development of both. At the end of the 19th century, the foundational crisis of mathematics led to the systematization of the axiomatic method, which heralded a dramatic increase in the number of mathematical areas and their fields of application. The contemporary Mathematics Subject Classification lists more than sixty first-level areas of mathematics.

수학은 경험적 과학과 수학 자체의 필요에 의해 개발되고 증명된 방법, 이론, 정리를 발견하고 정리하는 학문 분야입니다. 수학에는 수론(수에 대한 학문), 대수(공식과 관련 구조에 대한 학문), 기하학(도형과 이를 포함하는 공간에 대한 학문), 해석(연속적인 변화에 대한 학문), 집합론(현재 모든 수학의 기초로 사용되는) 등 많은 분야가 있습니다. 수학은 자연에서 추상화하거나 현대 수학에서는 공리라고 하는 특정 속성을 갖도록 규정된 순수 추상 실체로 구성된 추상적인 대상을 기술하고 조작하는 것을 포함합니다. 수학은 순수한 이성을 사용하여 대상의 속성을 증명하며, 증명은 이미 확립된 결과에 연역적 규칙을 연속적으로 적용하는 것으로 구성됩니다. 이러한 결과에는 이전에 증명된 정리, 공리, 그리고 자연에서 추상화된 경우 고려 중인 이론의 진정한 출발점으로 간주되는 몇 가지 기본 속성이 포함됩니다. 수학은 자연과학, 공학, 의학, 금융, 컴퓨터 과학 및 사회과학 분야에서 필수적입니다. 수학은 현상을 모델링하는 데 광범위하게 사용되지만 수학의 기본 진리는 어떤 과학적 실험과도 무관합니다. 통계학이나 게임 이론과 같은 수학의 일부 영역은 응용 분야와 밀접한 상관관계로 발전하며 응용 수학으로 분류되기도 합니다. 다른 영역은 응용 분야와 독립적으로 개발되었지만(따라서 순수 수학이라고도 함) 나중에 실용적인 응용 분야를 찾는 경우가 많습니다. 역사적으로 증명이라는 개념과 그와 관련된 수학적 엄밀성은 그리스 수학, 특히 유클리드 원론에서 처음 등장했습니다. 수학이 시작된 이래 수학은 주로 기하학과 산술(자연수와 분수의 조작)로 나뉘었으며, 16~17세기에 대수학과 무한대 미적분이 새로운 분야로 도입되기 전까지 수학은 주로 기하학과 산술로 나뉘었습니다. 그 이후로 수학적 혁신과 과학적 발견의 상호 작용으로 인해 두 분야의 발전이 상관관계에 따라 증가했습니다. 19세기 말, 수학의 근본적인 위기는 공리주의적 방법의 체계화로 이어졌고, 이는 수학 영역과 그 응용 분야의 급격한 증가를 예고했습니다. 현대 수학 과목 분류에는 60개 이상의 1급 수학 영역이 나열되어 있습니다.

응용수학 Applied mathematics

(“응용수학 Applied Mathematics” 2025)

Applied mathematics is the application of mathematical methods by different fields such as physics, engineering, medicine, biology, finance, business, computer science, and industry. Thus, applied mathematics is a combination of mathematical science and specialized knowledge. The term “applied mathematics” also describes the professional specialty in which mathematicians work on practical problems by formulating and studying mathematical models. In the past, practical applications have motivated the development of mathematical theories, which then became the subject of study in pure mathematics where abstract concepts are studied for their own sake. The activity of applied mathematics is thus intimately connected with research in pure mathematics.

10.2.3 Applications of Mathematics 수학 응용